11-04-2010, 02:13 PM
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La spécialité: Autres
8 1945
: 11-04-2010
: 6
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Exll


UNIVERSITÉ PARIS XII-VAL DE MARNE
UFR Sciences et Technologie
REPRÉSENTATION DÉTAT
ET
COMMANDE DANS LESPACE DÉTAT
Master 1
Mention Sciences de lIngnieur
Corinne VACHIER
Dernire mise jour septembre 2007

i
Avant propos
Lautomatique dsigne tout ensemble de commandes visant asservir un systme. Elle est au
coeur des grandes volutions technologiques. Un des exemples les plus fameux est certainement
le pilotage automatique des vhicules : avions, trains, voitures... Le systme (le vhicule) reoit
des informations (vitesse, angle de braquage...) et ragit en fonction de lenvironnement extrieur
(drive, acclration...). Pour imposer au vhicule un comportement, il faut le commander, cest-
dire asservir son comportement sur une ou plusieurs consignes. Si lon prend lexemple dun
vhicule, le systme dasservissement agit sur le systme la manire dun conducteur qui, selon
la pente, la drive, le vent et les obligations du code de la route, va contrler via le volant, les
pdales, le comportement de son vhicule. Lorsquil ny a pas de pilotage automatique, cest le
conducteur qui ralise la correction. Dans le cas dun pilotage automatique, il faut synthtiser
un correcteur susceptible de ragir correctement dans le plus grand nombres de circonstantes
possibles et cappable datteindre la consigne au plus juste. On parle de commande robuste et
prcise.
Comment cet asservissement est-il ralis ? Comme dans le cas dun pilote humain, le comportement
du systme est, dans un premier temps, mesur via des capteurs (compteur de vitesse
par exemple). Dans un deuxime temps, cette information est compare la consigne (limitation
de vitesse) et dans un deuxime trois, le correcteur (comme le conducteur) va corriger son action
sur le vhicule (plus dacclration, moins dacclration, freinage...) afin damener son vhicule
la vitesse correspondant la consigne. La prise en compte de la sortie dans le processus de commande
est appel en automatique une boucle de rtroaction (feedback en anglais) et lensemble
constitu du systme (la voiture) et du correcteur (le conducteur ou le pilote automatique) forme
un systme en boucle ferme : voir figure 1. Une conduite effectue sans regarder le compteur ou
la route correspond un systme en boucle ouverte.
La structure dasservissement par rtroaction est prsente dans de nombreux systmes, y
compris dans des systmes naturels. Lquilibre de lhomme par exemple fait intervenir une
SYSTEME
(voiture)
CORRECTEUR
(conducteur)
CAPTEUR
(compteur de vitesse)
ENTREE
consigne SORTIE
vitesse
erreur commande
Fig. 1 Structure dun systme asservi : rtroaction (boucle ferme) et correction.
ii
rtroaction. Cest grce ce processus que lon se maintient la vertical. Un drglement des
capteurs (ouie, vue, vote plantaire...) peut ainsi entraner une perte dquilibre car la commande
pour le maintien la vertical sera ralise avec des donnes errones.
De nombreux systmes technologiques sont dots de systmes de commande, parfois trs
lmentaires ou bien plus avancs. La gnralisation de lautomatisation et la multiplicit des
systmes commander pose cependant des difficults. Premirement, se pose la question de la
conception. La synthse dun correcteur ncessite de modliser corerctement, dans une tape
prliminaire, le systme commander. Dans le cas des systmes complexes, cette modlisation
saccompagne de simplifications plus ou moins importantes ncessaires pour la rsolution du
problme. De ce fait, la commande est ralise sur un prototype plus ou moins proche de la ralit.
Il faut donc sassurer que le correcteur fonctionne pour le prototype mais galement pour tout
systme proche du prototype. Deuximement, la complexit croissante des systmes commander
saccompagne dune complexit croissante des systmes de commande. Sur ce point la technologie
numrique est de grand secours puisquelle offre, outre des moyens de calcul considrables, la
possibilit de simuler avant dimplmenter sur le systme physique, et tout ceci pour des cots
trs bas. En comparaison avec les systmes de commande analogiques, la synthse dun correcteur
numrique est facilite et les systmes conus vont pouvoir devenir plus performants du fait de
la possibilit de faire communiquer aisment diffrents systmes numriques, de pouvoir intgrer
des systmes de commande hirarchiques, dterministes ou stochastiques...
La structure dun systme asservi est, dans le cas dune commande numrique, tout fait
identique celle prsente en figure 1. Le capteur a charge de transformer des donnes physiques
en donnes numriques. Pour diffrentes raisons, toutes les donnes physiques ne sont pas
forcment accessibles la mesure. Dans ce cas, on devra estimer ces grandeurs. En automatique,
on parle dobservation.
Le correcteur est le cerveau du systme. En commande numrique, cest un programme
informatique excut par un ordinateur ou par tout autre systme dlectronique numrique.
Un actionneur va ensuite traduite la commande numrique en action physique sur le systme.
Tout systme linaire et invariant dans le temps est dcrit par une quation de convolution
ou encore par une fonction transfert, transforme de Laplace de son noyau de convolution, encore
appele rponse impulsionnelle. La transformation de Laplace est un outil privilgi en automatique
car elle permet de caractriser la fois le rgime statique du systme (le systme une fois la
convergence obtenue) et son rgime transitoire (linstant suivant immdiatement la commande).
Toute la thorie de la commande analogique mane dune exploitation des proprits dans le
domaine des pseudo-frquences du systme. Lanalyse du diagramme de Bode permet en effet
une mesure de quantits de paramtres intervenant dans le problme de la commande : tude
de la stabilit du systme (le systme converge-t-il ?), calcul du temps de rponse du systme
(combien de temps le systme asservi met-il atteindre la consigne ?), mesure du dpacement (la
sortie reste-t-elle consigne dans un domaine de valeurs admissible par rapport la consigne ?)
Si lon opre avec un calculateur numrique, lanalyse temporelle se rvle plus naturelle :
on peut aisment discrtiser les quations diffrentielles, rsoudre des quations algbriques...
Lobjectif de ce cours est double. Premirement, donner les bases de la reprsentation des systmes
sous leur forme temporelle. Cest ce quon appelle la reprsentation dtat dun systme.
Deuximement, montrer les relations qui existent entre les reprsentations dtat et celles par
fonction de transfert. Troisimement, donner les bases de la commande dans lespace dtat et
iii
enfin indiquer comment les correcteurs ainsi synthtiss sexpriment dans la reprsentation de
Laplace (cest--dire quelle est leur fonction de transfert).
On se restreint, dans le cadre de ce cours destin aux tudiants en premire anne de master
en sciences de lingnieur, au cas des systmes linaires et stationnaires. Un des points forts des
reprsentations dtat est leur adaptabilit au cas des systmes non-linaires, non stationnaires
quils soient continus ou discrets. Ces thmes sont gnralement abords en deuxime anne de
Master.
iv Avant-propos
v
Sommaire
Avant-propos i
Sommaire iv
1 Introduction aux reprsentations dtat 1
1.1 La notion dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Les quations detat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Lquation de transition dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Rsolution de lquation de transition dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Calcul de la matrice de transition dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Reprsentation et analyse des systmes dans lespace dtat 7
2.1 Equations dtat et fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Formes standard de reprsentations dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 La forme compagne pour la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 La forme modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3 La forme cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Intrts des reprsentations dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Passage dune reprsentation dtat une autre . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Commande dans lespace dtat 13
3.1 Principe de la commande par retour dtat linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 La commande modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 But et dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2 Commandabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.3 Calcul de la commande dans le cas dun systme sous forme compagne
pour la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.4 Calcul de la commande dans le cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Asservissement des sorties sur une valeur constante non nulle . . . . . . . . . . . 17
3.3.1 Solution directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.2 Commande intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Mise en oeuvre de la commande dans lespace dtat . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.1 Commande partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.2 Choix des valeurs propres du systme boucl . . . . . . . . . . . . . . . . 21
vi Sommaire
4 Synthse dobservateur 23
4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Observabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.2 Notion de dualit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Reconstruction de ltat dun systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3.1 Synthse dobservateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3.2 Observateur identit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3.3 Synthse des observateurs identit par approche modale . . . . . . . . . . 27
4.4 Mise en vidence du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Bilan sur la commande par retour dtat avec synthse dobservateur 31
5.1 Structure de la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Comportement dynamique du systme boucl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Travaux dirigs 35
6.1 Travaux dirigs no1 : rappels de calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2 Travaux dirigs no2 : reprsentation dtat dun systme . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2.1 Ecriture partir des quations dvolution du systme . . . . . . . . . . . 36
6.2.2 Ecriture partir des fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3 Travaux dirigs no3 : commande par retour dtat et placement de ples . . . . . 37
6.3.1 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3.2 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4 Travaux dirigs no4 - TP no3 : exemple du pendule invers (stabilisation, synthse
dobservateur) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.5 Travaux dirigs no5 : exemple des cuves en cascade (commande des systmes
perturbs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.6 Travaux dirigs no6 : analyse et commande dun systme discret . . . . . . . . . . 41
7 Travaux pratiques 43
8 Annales dexamens 59
Bibliographie 75
1
Chapitre 1
Introduction aux reprsentations dtat
Lide de base des reprsentations dtat est que le futur dun systme dpend de son pass,
de son prsent et de ses entres : le futur peut alors tre dcrit partir dun ensemble de variables
bien choisies. Contrairement lanalyse classique des systmes qui fait appel la reprsentation
de Laplace, dans le cas des reprsentations dtat, lanalyse a lieu dans le domaine temporel. De
fait, au cadre de lanalyse des fonctions de la variable complexe se substitue le cadre de lalgbre
matricielle.
Pour illustrer notre propos, considrons lexemple de la figure 1.1 dcrit par les quations
diffrentielles suivantes
8<
:
e(t) = (R1 + R2)i(t) + Ldi
dt + v(t)
i(t) = C dv
dt
s(t) = R2i(t) + v(t)
(1.1)
e(t)

R
1

R
2

L

C

i(t)

v(t)

s(t)

Fig. 1.1 Exemple dun systme lectronique
2 1. Introduction aux reprsentations dtat
1.1 La notion dtat
On dfinit ltat dun systme linstant t0 comme linformation sur le pass ncessaire et
suffisante pour dterminer lvolution ultrieure du systme quand on connat, pour t > t0, les
signaux dentre et les quations du systme.
Dans le cas de lexemple 1.1, linformation ncessaire et suffisante pour rsoudre le systme
dquations 1.1 est lie aux conditions intiales : i(t0) et v(t0). Par consquent, un ensemble
possible de variables dtat est : [i(t), v(t)]
On remarque que les variables dtat constituent les supports des "souvenirs" du systme.
Plus gnralement, les variables dtat dans les systmes physiques sont les lments aptes
emmagasiner de lnergie sous forme cintique ou potentielle : inductances, capacits, masses,
ressorts... Ce sont les lments ayant une capacit de "mmoire".
Dfinition Un vecteur dtat est un ensemble minimal de variables dtat, cest--dire de
grandeurs temporelles, ncessaires et suffisantes pour dterminer lvolution future dun systme
quant on connat les quations qui dcrivent le fonctionnement du systme et les entres de ce
systme.
Dans ce qui suit, un vecteur dtat sera not :
x =
2
66664
x1
x2
...
...
xn
3
77775
Le nombre n de composantes correspond au degr de complexit du systme. Il dfinit lordre
du systme.
Remarques
Le vecteur dtat nest pas unique : il y a mme une infinit de choix possibles (sur notre
exemple, [i(t), di
dt ]t est un autre vecteur dtat possible). On passe dun vecteur dtat un
autre par simple changement de base.
Les variables dtat sont gnralement choisies pour leur signification physique et/ou leur
simplicit dans les quations dvolution qui leur sont associes.
1.2. Les quations detat 3
1.2 Les quations detat
Reprenons notre exemple de la figure 1.1, le systme dquations 1.1 peut scrire sous la
forme matricielle suivante :
8<
:
dx
dt =
−(R1+R2)
L
1
L
1
C 0

x +
1
L0

e
s(t) =

R2 1

x
Avec x =

i(t) v(t)
t.
Dune manire gnrale, tout systme linaire, causal et continu peuvent tre associes les
quations matricielles suivantes :
dx
dt = A(t)x(t) + B(t)e(t) Equation dtat
s(t) = C(t)x + D(t)e(t) Equation de sortie
Dans le cas dun systme stationnaire, les matrices A,B,C et D sont indpendantes du temps.
Ce cas seul sera examin par la suite.
A est appele matrice dtat du systme.
x est appele vecteur dtat du systme.
e est appele vecteur dentre du systme.
s est appele vecteur de sortie du systme.
Remarque Dans le cas dun systme discret, ces quations prennent la forme suivante :

x(k + 1) = Ax(k) + Be(k) Equation dtat
s(k) = Cx(k) + De(k) Equation de sortie
1.3 Lquation de transition dtat
1.3.1 Rsolution de lquation de transition dtat
Nous cherchons rsoudre lquation dtat prcdemment introduite et qui scrit dans le
cas gnral :
dx
dt
= Ax(t) + Be(t)
Le cas des quations diffrentielles matricielles se traite de manire similaire au cas scalaire.
Lquation homogne associe scrit :
dx
dt
= Ax(t)
4 1. Introduction aux reprsentations dtat
Sa solution est exponentielle et vaut :
x(t) = eA(t−t0)x(t0)
o t = t0 est linstant initial.
La rsolution avec second membre seffectue comme dans le cas scalaire (attention, en algbre
matricielle, la multiplication nest pas commutative) :
dx
dt = Ax(t) + Be(t)
e−At dx
dt = e−AtAx(t) + e−AtBe(t) = Ae−Atx(t) + e−AtBe(t)
e−At dx
dt − Ae−Atx(t) = e−AtBe(t)
d
dt (e−Atx) = e−AtBe(t)
e−Atx(t) = e−At0x(t0) +
R t
t0
e−AuBe(u)du
x(t) = eA(t−t0)x(t0) +
R t
t0
eA(t−u)Be(u)du
x(t) = eA(t−t0)x(t0) +
R t
t0
eA(t−u)Be(u)du
Etat linstant t Solution du rgime libre (e=0) Contribution des entres (convolution)
La stabilit de ltat est donc conditionne par celle de la matrice eAt appele matrice
de transition dtat. On montre que eAt converge si et seulement si les valeurs propres de
la matrice A sont partie relle strictement ngative. En examinant le lien entre les matrices
[A,B,C,D] et la fonction de transfert du systme, on retrouvera ce rsultat et on insistera sur
le rle jou par les valeurs propres de la matrice dtat A.
Sur le plan numrique, le problme rside dans le calcul de la matrice de transition dtat
eAt.
1.3.2 Calcul de la matrice de transition dtat
Par dfinition, la matrice de transition dtat scrit :
'(t) = eAt = I + At + A2
2! t2 + ... + An
n! tn + ... =
X+1
0
An
n! tn
A priori, son calcul fait intervenir un nombre infini de termes : le calcul de toutes les puissances
de A. En fait, nous allons voir que cela nest pas ncessaire.
Calcul par le thorme de Cayley-Hamilton Il est possible de calculer lexponentiel matriciel
partir dun nombre fini doprations, en utilisant le thorme de Cayley-Hamilton. Ce
thorme exprime que toute matrice carre A est solution de son quation caractristique. On
1.3. Lquation de transition dtat 5
note QA(p) le polynme caractristique de A : QA(p) = det(pI −A). Si A est une matrice carre
de taille n, QA(p) est un polynme de degr n.
QA(p) = det(pI − A) = pn + an−1pn−1 + ... + a1p + a0
Le thorme de Cayley-Hamilton assure que A vrifie :
An + an−1An−1 + ... + a1A + a0I = 0
En dautres termes, An sexprime comme une combinaison linaires de puissances infrieures
de A :
An = −an−1An−1 − ... − a1A − a0I
Par consquent, il est possible dexprimer
P+1
0
An
n! tn = eAt = '(t) en ne faisant intervenir
que des puissances de A infrieures strictement n, cest--dire, quil existe un jeu de coefficients
(0, 1...n−1) tels que :
'(t) = eAt = n−1(t)An−1 + ... + 1(t)A + 0(t)I (1.2)
Dans le cas o les valeurs propres sont distinctes deux deux, pour calculer les coefficients
0, 1...n−1, il suffit de considrer une base de vecteurs propres (x0, x1...xn−1) de A. On note
(0, 1...n−1) ses valeurs propres et on rcrit simplement lgalit (1.2) applique chaque
vecteur propre de A :
eAtxk = n−1(t)An−1xk + ... + 1(t)Axk + 0(t)Ixk
= n−1(t)n−1
k xk + ... + 1(t)kxk + 0(t)xk
Dautre part xk est non nul et
eAtxk =
X+1
0
An
n! tnxk =
X+1
0
nk
n! tnxk = ektxk
Il vient :
ekt = n−1(t)n−1
k + ... + 1(t)k + 0(t)
et ceci vaut pour toute la base de vecteurs propres. On aboutit donc au systme de n quations
n inconnues suivant :
8>><
>>:
e0t = n−1(t)n−1
0 + ... + 1(t)0 + 0(t)
e1t = n−1(t)n−1
1 + ... + 1(t)1 + 0(t)
...
en−1t = n−1(t)n−1
n−1 + ... + 1(t)n−1 + 0(t)
(1.3)
6 1. Introduction aux reprsentations dtat
Calcul par la Transforme de Laplace Une autre mthode de calcul de la matrice de
transition dtat consiste utiliser les proprits de la transforme de Laplace :
si eAt = [ºij(t)]1i,jn
alors TL(eAt) = (pI − A)−1 = [TL(ºij(t))]1i,jn
La mthode consiste donc calculer la matrice (pI − A)−1 puis prendre la transforme de
Laplace inverse de chacun des termes de la matrice obtenue.
7
Chapitre 2
Reprsentation et analyse des systmes
dans lespace dtat
Les systmes linaires et stationnaires sont gnralement dcrits par leur fonction de transfert
(transforme de Laplace de la rponse impulsionnelle). Pour tre mme de transposer les
proprits utilises dans le domaine de Laplace au cas des reprsentations dtat, il est ncessaire
dtablir le passage dune reprsentation lautre.
2.1 Equations dtat et fonctions de transfert
On considre un systme (S) dcrit par sa reprsentation dtat :
dx
dt = Ax(t) + Be(t)
s(t) = Cx(t) + De(t)
On se restreint au cas dun systme une entre et une sortie. Exprimons la fonction de transfert
H(p) du systme en fonction des matrices A,B,C et D.
H(p) = S(p)
E(p)
En prenant les T.L. des quations dtat et de sortie, on obtient :

pX(p) = AX(p) + BE(p)
S(p) = CX(p) + DE(p)
en supposant les conditions initiales nulles.
Soir encore :

X(p) = (pI − A)−1BE(p)
S(p) = C[(pI − A)−1B]E(p) + DE(p) = [C(pI − A)−1B + D]E(p)
8 2. Reprsentation et analyse des systmes dans lespace dtat
Finalement :
H(p) = C(pI − A)−1B + D (2.1)
En substituant linverse sa dfinition, il vient :
H(p) = C[cof(pI − A)]tB + DQA(p)
QA(p)
(2.2)
o QA(p) = det(pI − A).
Les ples de la fonction de transfert correspondent aux zros de det(pI − A) qui est aussi le
polynme caractristique de la matrice dtat A. Par consquent, les ples de H(p) sont les
valeurs propres de la matrice dtat A.
Remarque : Dans le cas dun systmes plusieurs entres et/ou plusieurs sorties, on dfinit
de manire analogue une matrice de transfert.
2.2 Formes standard de reprsentations dtat
Considrant un systme dcrit par sa fonction de transfert, il est possible de construire
trs simplement des reprsentations dtat de ce systme en le dcomposant en sous-systmes
lmentaires : des systmes dordre 1 mis en srie ou en parallle.
On considre le systme de fonction de transfert :
H(p) = N(p)
D(p)
= bmpm + bm−1pm−1 + ... + b1p1 + b0p
pn + an−1pn−1 + ... + a1p1 + a0p
Dans tous les cas, il est plus simple de raisonner dans un premier temps sur le systme sans
numrateur :
H1(p) =
1
D(p)
=
1
pn + an−1pn−1 + ... + a1p1 + a0p
avec
H(p) = N(p) H1(p) ; H(p) = S(p)
E(p) et H1(p) = S1(p)
E(p)
2.2.1 La forme compagne pour la commande
Le systme est vu comme une mise en srie dintgrateurs purs. A partir de lexpression de
la fonction de transfert H(p), on retrouve aisment lquation diffrentielle associe au systme :
s(n)
1 (t) + an−1s(n−1)
1 (t) + ... + a1s(1)
1 (t) + a0s1(t) = e(t)
2.2. Formes standard de reprsentations dtat 9
et
s(t) = bms(m)
1 (t) + bm−1s(m−1)
1 (t) + ... + b1s(1)
1 (t) + b0s1(t)
Il suit la reprsentation schmatique de la figure 2.1. On choisit comme variables dtat les sorties
des systmes lmentaires, cest--dire les drives successives de la sortie. La reprsentation
e(t)
...
s
1
s1
(
t) s1 (
t) s1 (
t)
(t)

(n)
(n-1) (n-2) (n-3)
s
1
(t)

...

+

+

+

-a
n-1

-a
n-2

-a
0

b
0

b
1

b
m
...

s(t)

s
1
(t)
(m)

s
1
(t)
(1)

Fig. 2.1 Interprtation dun systme complexe sous la forme dune mise en srie dintgrateurs
purs
dtat obtenue est dite sous forme compagne pour la commande ; elle scrit (si m < n) :
8>>>>>>>><
>>>>>>>>:
dx
dt =
2
66664
0 1 ... 0 0
... ... ... ... ...
0 0 ... 1 0
0 0 ... 0 1
−a0 −a1 ... −an−2 −an−1
3
77775
x +
2
66664
0
...
0
0
1
3
77775
e
s(t) =

b0 b1 b2 b3 ...

x
avec x =
2
6664
s1
s(1)
1
...
s(n−1)
1
3
7775
(2.3)
Remarques
Si m n alors D 6= 0.
Toute linformation relative au dnominateur de la fonction de transfert est mmorise
dans la matrice dtat A.
Toute linformation relative au numrateur de la fonction de transfert est mmorise dans
les matrices C et D.
2.2.2 La forme modale
Le systme est vu comme une mise en parallle de systmes dordre 1. Pour mettre en vidence
cette reprsentation, il suffit de dcomposer la fonction de transfert H(p) en lments simples.
10 2. Reprsentation et analyse des systmes dans lespace dtat
Dans le cas o tous les ples sont simples et le systme dordre n, H(p) prend la forme :
H(p) = 0
p + 0
+ 1
p + 1
+ ... + n−1
p + n−1
Il suit la reprsentation schmatique de la figure 2.2. On choisit comme variables dtat les
sorties des systmes lmentaires. La reprsentation dtat obtenue est dite sous forme modale ;
E(p)
S(p)

1

p+
l
0

1

p+
l
1

1

p+
l
n-1

a
0

a
1

a
n-1

+

x
0

x
1

x
n-1

Fig. 2.2 Interprtation dun systme complexe sous la forme dune mise en parallle de systmes
dordre 1
elle scrit :
8>>>>>>>><
>>>>>>>>:
dx
dt =
2
66664
−0 0 ... 0 0
0 −1 ... 0 0
... ... ... ... ...
0 0 ... −n−2 0
0 0 ... 0 −n−1
3
77775
x +
2
66664
1
1
...
1
1
3
77775
e
s(t) =

0 1 2 3 ...

x
avec x =
2
664
x0
x1
...
xn−1
3
775
(2.4)
Remarques
A est diagonale ; les lments diagonaux correspondent aux ples du systme.
Si le systme a des ples multiples, A est diagonale par blocs (un exemple sera donn en
TD)
La prsence dun numrateur modifie les pondrations dans la dcomposition en lments
simples ; seules les matrices C et D sont affectes.
Attention ! Nous avons utilis ici et dans le cas prcdent les mmes notations pour le vecteur
dtat (not x) mais ces vecteurs diffrent dune reprsentation lautre. Les deux reprsentations
(modale et compagne pour la commande) reprsentent le mme systme dans son intgralit
(cest--die sans perte). Par consquent, elles sont isomorphes. On passe de lune lautre par
2.2. Formes standard de reprsentations dtat 11
une transformation bijective (qui najoute rien et nenlve rien). En dautres termes, on peut
trouver une matrice P inversible (cest une matrice de changement de base) permettant de
passer dune reprsentation lautre. Nous reviendrons sur ce point au paragraphe 2.3.
2.2.3 La forme cascade
Le systme est vu comme une mise en srie de systmes dordre 1. Pour mettre en vidence
cette reprsentation, il suffit de factoriser le dnominateur de la fonction de transfert H(p). Dans
le cas dun numrateur unitaire, on obtient :
H(p) =
1
(p + 0)(p + 1) ... (p + n−1)
Il vient alors la reprsentation schmatique de la figure 2.3. On choisit comme variables dtat les
sorties des systmes lmentaires. La reprsentation dtat obtenue est dite sous forme cascade.
E(p)
1
S(p)

p+
l
0

1

p+
l
1

1

p+
l
n-1

xn
-1
xn
-2
x0

...

Fig. 2.3 Interprtation dun systme complexe sous la forme dune mise en srie de systmes
dordre 1
Dans le cas dun numrateur unitaire, elle scrit :
8>>>>>>>><
>>>>>>>>:
dx
dt =
2
66664
−n−1 1 ... 0 0
0 −n−2 1 ... 0
... ... ... ... ...
0 0 ... −1 1
0 0 ... 0 −0
3
77775
x +
2
66664
0
0
...
0
1
3
77775
e
s(t) =

1 0 0 0 ...

x
avec x =
2
664
x0
x1
...
xn−1
3
775
(2.5)
Remarques
Si le numrateur nest pas constant, on perd la forme cascade.
Le traitement des ples multiples ne pose aucune difficult. La matrice dtat garde une
forme similaire.
12 2. Reprsentation et analyse des systmes dans lespace dtat
2.3 Conclusion
2.3.1 Intrts des reprsentations dtat
La fonction de transfert est une relation entre/sortie qui napporte aucune connaissance
sur la structure interne dun systme. Deux systmes diffrents peuvent trs bien avoir la mme
fonction de transfert. A contrario, la reprsentation dtat contient des informations accessibles
la mesure et directement lies aux grandeurs physiques des systmes. Elle offre de ce fait des
possibilits nouvelles en termes danalyse et de commande des systmes.
Un mme systme complexe pouvant tre dcompos de diffrentes manires, la reprsentation
dtat nest pas unique. Bien au contraire, pour un systme donn, il en existe une infinit.
Il a t dit que le dnominateur de la fonction de transfert correspond au polynme caractristique
de la matrice dtat :
Den[H(p)] = det(pI − A) = QA(p)
Par consquent, les ples du systme sont les valeurs propres de la matrice dtat.
2.3.2 Passage dune reprsentation dtat une autre
On considre deux reprsentations dtat dun mme systme :
dx
dt = Ax(t) + Be(t)
s(t) = Cx(t) + De(t)
et dr
dt = A0r(t) + B0e(t)
s(t) = C0r(t) + D0e(t)
Le vecteur dtat est un ensemble minimal de variables dtat, il engendre un espace, appel espace
dtat de dimension exactement gal au nombre de variables dtat. Changer de vecteur dtat,
cest simplement changer de base de reprsentation. Il existe donc une matrice de changement
de base P telle que :
r = Px
et :
P dx
dt = A0Px(t) + B0e(t)
s(t) = C0Px(t) + D0e(t)
soit encore : dx
dt = P−1A0Px(t) + P−1B0e(t)
s(t) = C0Px(t) + D0e(t)
Les deux reprsentations dtat (A,B,C,D) et (A0,B0,C0,D0) satisfont donc :
A = P−1A0P , B = P−1B0 , C = C0P , D = D0
13
Chapitre 3
Commande dans lespace dtat
3.1 Principe de la commande par retour dtat linaire
Le principe est de dterminer une commande telle que les ples du systme de la fonction
de transfert du systme boucl soient convenablement placs dans le plan complexe et satisfasse
des spcifications damortissement, de rapidit...
Les ples de la fonction de transfert tant les valeurs propres de la matrice dtat, le but est
donc de raliser un asservissement modifiant convenablement la matrice dtat du systme.
e(t)
[A,B,C,D]
s(t)

Fig. 3.1 Systme en boucle ouverte
Soit un systme dcrit par lquation dtat suivant :
dx
dt = Ax(t) + Be(t)
s(t) = Cx(t) + De(t)
Dans le cadre de ce cours, on se restreint la commande linaire construite par rtro-action
linaire de ltat du systme sur lentre :
u(t) = e(t) − Lx(t)
Les quations du systme en boucle ferm sont :
8<
:
dx
dt = Ax(t) + Bu(t)
u(t) = e(t) − Lx(t)
s(t) = Cx(t) + De(t)
Le schma de lasservissement est donn figure 3.2.
14 3. Commande dans lespace dtat
e(t)
[A,B,C,D]

-L

s(t)

u(t)

x

Fig. 3.2 Commande par retour dtat linaire
Lquation dtat du systme en boucle ferm scrit :
dx
dt
= Ax(t) + B[e(t) − Lx(t)] = [A − BL]x(t) + Be(t)
Par consquent, la matrice dtat du systme en boucle ferm vaut : (A − BL).
La dynamique du systme boucl est donc fixe par les valeurs propres de la matrice (ABL)
; ces valeurs propres sont les racines de lquation caractristique : det(pI − (A − BL)) =
QA−BL(p) = 0.
3.2 La commande modale
Elle est ralisable soit dans lespace dtat, soit sous forme algbrique partir des fonctions
de transfert.
3.2.1 But et dfinition
On appelle commande modale la commande qui consiste dterminer une matrice de retour
dtat L telle que les valeurs propres de la matrice (A − BL) soient places en des positions
prfixes (0, 1...n−1) (valeurs complexes). Lexistence dune solution est tudie travers la
notion de commandabilit.
3.2.2 Commandabilit
Un systme est commandable si et seulement si, pour toute contrainte modale (0, 1...n−1),
il existe un retour dtat linaire L satisfaisant. On montre que, dans le cas dun systme monovariable
(une entre, une sortie), si le retour dtat L existe, il est unique.
Il est souvent intressant de sassurer de la commandabilit dun systme avant de cherche
mettre en oeuvre la commande proprement dite. En dautres termes, on demande de disposer
dune condition ncessaire et suffisante de commandabilit.
Considrons un systme reprsent par un vecteur dtat x, et une quation dvolution de
3.2. La commande modale 15
ltat : dx
dt = Ax(t)+Be(t). La question que lon se pose est la suivante : peut-on dterminer une
commande admissible transfrant le systme dun tat donn vers un autre ? En dautres termes,
ils sagit ici de trouver une commande e telle que le systme passe dun tat initial x(0) un
tat final x(t).
Nous avons vu que lvolution de ltat est dcrite par :
x(t) = eAt[x(0) +
Z t
0
e−A¿Be(¿ )d¿]
Donc :
e−Atx(t) − x(0) =
Z t
0
e−A¿Be(¿ )d¿
Daprs le thorme de Cayley-Hamilton, pour un systme dordre n, e−A¿ ne fait intervenir
que les (n − 1) premires puissances de A :
e−A¿ = º0(t)I + º1(t)A + º2(t)A2 + ... + ºn−1(t)An−1
do :
e−Atx(t) − x(0) =
nX−1
k=0
AkB
Z t
t0
ºk(¿ )e(¿ )d¿
A et B tant fixs, le systme est commandable si on peut trouver e(¿ ) telle que la relation soit
vraie quelque soit les tats initiaux et finaux x(0) et x(t), cest--dire si aucun des termes AkB
nest li un autre, ce qui scrit :
Comm = [An−1B , An−2B , ... , AB , B] de rang n
Comm est appele matrice de commandabilit. Un systme est commandable si rang(Comm) =
n. On dfinit plus gnralement le degr de commandabilit dun systme comme le rang de la
matrice de commandabilit. Si rang(Comm) < n, alors le systme est partiellement commandable.
Nous verrons sur un exemple que lide, dans le cas dun systme partiellement commandable,
consiste rendre la partie non commandable su systme inoprante afin de le contrler
entirement via sa partie commandable (voir section 6.5).
Exemple On considre le systme suivant :
8<
:
dx
dt =

0 1
−2 −3

x(t) +

1
−2

e(t)
s(t) =

1 0

x(t)
On montre que AB = −2B, donc rang([AB , B])=1 et le systme nest pas commandable.
16 3. Commande dans lespace dtat
3.2.3 Calcul de la commande dans le cas dun systme sous forme compagne
pour la commande
Sous la forme compagne pour la commande, les matrices A et B ont des formes trs particulires
:
A =
2
664
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ... ... ... ...
−a0 −a1 −a2 ... −an−1
3
775
B =
2
664
0
0
...
1
3
775
On cherche une matrice L de retour dtat :
L =

l0 l1 l2 ... ln−1

telle que la matrice
A − BL =
2
664
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ... ... ... ...
−a0 − l0 −a1 − l1 −a2 − l2 ... −an−1 − ln−1
3
775
ait comme valeurs propres (0, 1...n−1).
La contrainte modale impose le dnominateur de la fonction de transfert du systme en boucle
ferm :
den(HBF (p)) = (p − 0)(p − 1)...(p − n−1) = pn + a0
n−1pn−1 + ... + a0
1p + a0
0
Le placement de ples de modifie pas le type de reprsentation (elle reste une forme compagne
pour la commande). Par consquent, on obtient deux critures diffrentes pour la matrice dtat
du systme en boucle ferme (A − BL) :
A−BL =
2
664
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ... ... ... ...
−a0 − l0 −a1 − l1 −a2 − l2 ... −an−1 − ln−1
3
775
=
2
664
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ... ... ... ...
−a0
0 −a0
1 −a0
2 ... −a0
n−1
3
775
do le systme de n quations n inconnues suivant :
8>><
>>:
a0 + l0 = a0
0
a1 + l1 = a0
1
...
an−1 + ln−1 = a0
n−1
qui permet de dduire trs simplement le retour dtat L =

l0 l1 l2 ... ln−1

.
3.3. Asservissement des sorties sur une valeur constante non nulle 17
3.2.4 Calcul de la commande dans le cas gnral
Dans le cas gnral, le retour dtat peut modifier notablement la forme de la matrice dtat
et le calcul nest pas aussi simple que dans le cas de la forme compagne pour la commande. Les
tapes du calcul de la commande sont alors les suivantes :
1. Calcul de la matrice (A − BL)
2. Calcul du polynme caractristique de (A − BL). Il vaut det(pI − (A − BL)).
3. Identification du polynme caractristique de (A−BL) avec le dnominateur de la fonction
de transfert de la boucle ferme : det(pI − (A − BL)) = (p − 0)(p − 1)...(p − n−1), o
(0, 1, ..., n−1) sont les ples que lon veut imposer.
Par rapport au cas de la forme compagne pour la commande, il a t ajout une tape de
calcul du polynme caractristique de la matrice dtat du systme boucl det(pI − (A − BL)).
Une autre solution consiste effectuer un changement de base pour se ramener au cas dune
forme compagne pour la commande. Un exemple dun tel calcul sera effectu lors dune sance
de travaux dirigs (voir commande du pendule invers).
3.3 Asservissement des sorties sur une valeur constante non nulle
3.3.1 Solution directe
Dans le cas o le systme ne subit aucune perturbation extrieure, lobjectif de la commande
est damener le systme (et notamment ses sorties) un nouveau point dquilibre.
Le placement de ple permet de satisfaire les contraintes dynamiques imposes au systme.
Les contraintes statiques doivent tre traites sparment.
On considre ici une contrainte en chelon sur la sortie s(t) du systme : on veut limt!+1 s(t) =
sc. Cherchons lentre e(t) = ecH(t) adquate (H(t) dsigne lchelon dHeaviside).
Les quations dtat et de sortie en rgime statique scrivent :

0 = (A − BL)x + Be
s = Cx + De = sc
Eliminons x dentre de ces deux quations :

x = −(A − BL)−1Be
sc = −[C(A − BL)−1B + D]ec
Lentre e(t) applique au systme vaut donc :
e(t) = ecH(t) avec ec = −[C(A − BL)−1B + D]−1sc
18 3. Commande dans lespace dtat
s
c
(t)
A

-L

C
s(t)

u(t)
-[C(A-BL )-1
B]
x

Consigne
Optimise

le rgime permanent

Optimise le rgime transitoire

-1

Fig. 3.3 Structure de lasservissement
Problme : on remarque ici que lentre du systme ne coincide pas avec la consigne sur la
sortie. La commande intgrale qui suit propose une autre approche rsolvant ce problme.
3.3.2 Commande intgrale
En commande analogique classique, lannulation de lerreur statique en rponse un chelon
seffectue via un correcteur intgral. Il est possible de mettre en oeuvre une correction similaire
dans lespace dtat en considrant la consigne en sortie comme une perturbation et en effectuant
une commande intgrale.
La commande intgrale est plus gnralement utilise dans le cas o des perturbations affectent
lvolution du systme ; elle permet en effet de limiter linfluence de ces perturbations sur
la sortie.
On considre toujours une contrainte en chelon sur la sortie s(t) du systme : on veut
limt!+1 s(t) = sc. Cette consigne est considre comme une perturbation sur la sortie du systme
(cf. figure 3.4).
A

-L

C

e(t)
u(t)
x
s(t)

s
c
(t)

+

+
+

-
.
z(t)

Fig. 3.4 Annulation de lerreur statique par une commande intgrale : la consigne en sortie est
vue comme une perturbation.
3.3. Asservissement des sorties sur une valeur constante non nulle 19
On note dz
dt = s(t) − sc(t). On veut donc dz
dt = 0 en rgime statique, cest--dire quand
t = +1.
Considrons ltat augment

x
z

. Les quations dtat du systme augment scrivent :
8>><
>>:
dx
dt
dz
dt

=

A 0
C 0

x
z

+

B
0

u +

0
−sc

=

A 0
C 0

x
z

+

B 0
0 −1

u
sc

s = [ C 0 ]

x
z

Ecrivons maintenant ces quations en rgime statique :
8>><
>>:
0 =

A 0
C 0

xs
zs

+

B
0

u +

0
−sc

sc = [ C 0 ]

xs
zs

On cherche une commande u = −

L1 L2

x
z

+ e permettant dannuler lerreur statique
8e : 8
>><
>>:
0 =

A 0
C 0

xs
zs



B
0

L1 L2

xs
zs

+

B
0

e +

0
−sc

sc = [ C 0 ]

xs
zs

8>><
>>:
0 =

A − BL1 −BL2
C 0

xs
zs

+

B
0

e +

0
−sc

sc = [ C 0 ]

xs
zs

Pour que le systme augment tende vers un tat dquilibre, il faut et il suffit que la matrice
A − BL1 −BL2
C 0

soit stable. Comme de plus, le raisonnement vaut pour toute entre e, on
peut choisir e = 0. La structure de la commande intgrale est donc celle de la figure 3.5.
A

-L
1

C

e(t)
u(t)
x
s(t)

s
c
(t)

+

+
+

-
z(t)

-L
2

Fig. 3.5 Commande intgrale.
Remarque : Dans la pratique, la commande intgrale ncessite de dterminer le retour L2
sur ltat ajout ce qui revient placer un ple suplmentaire du systme en boucle ferm. Ce
20 3. Commande dans lespace dtat
ple est choisi de telle sorte quil naffecte pas la dynamique du systme principal, cest--dire
que le sous-systme relatif la commande intgrale devra converger beaucoup plus rapidement
que le systme principal. On choisira donc en consquence la valeur du ple affecter cette
partie de la commande. Cette mise en eouvre sera effectue en sance de travaux pratiques sur
lexemple du pendule invers.
3.4 Mise en oeuvre de la commande dans lespace dtat
3.4.1 Commande partielle
Considrons un systme de rang q < n (q dsigne son degr de commandabilit) mis sous la
forme canonique dx
dt = Ax + Bu.
On choisit comme vecteur dtat x un vecteur propre du systme. Il est ainsi possible de
scinder ce vecteur en deux : la partie commandable (q variables dtat : x1) et la partie non
commandable ((n − q) variables dtat : x2). Lquation dvolution dtat est de la forme :
dx
dt
=

A11 A12
0 A22

x1
x2

+

B1
0

u
Les modes du systme sont les zros du polynme caractristique de la matrice dtat ; il vaut :
det(pI − A) = det(pT − A11) det(pT − A22)
Autrement dit, les valeurs propres de A sont les valeurs propres de A11 et les valeurs propres de
A22.
La commande modale scrit u = −Lx + e = −

L1 L2

x1
x2

+ e.
Et lquation dvolution de ltat du systme command scrit :
dx
dt
=

A11 − B1L1 A12 − B1L2
0 A22

x1
x2

+

B1
0

e
On note que lvolution de la partie non commandable reste libre (indpendante de la commande
modale L), en effet : dx2
dt = A22x2.
En conclusion :
Lorsquun systme a une partie non commandable, les seuls modes modifiables sont ceux
de la partie commandable (ceux de A11).
La partie L2 de la matrice de rjection (L) est dtermine autrement. Dautres critres
peuvent tre pris en compte, comme par exemple, le fait de rendre la sortie indpendante
de la partie non commandable x2.
3.4. Mise en oeuvre de la commande dans lespace dtat 21
3.4.2 Choix des valeurs propres du systme boucl
1. Pour que la commande soit physiquement ralisable, les valeurs propres choisies doivent
tre relles ou complexes conjugues deux deux (ce qui garantit une fonction de transfert
coefficients rels).
2. La stabilit tant la premire qualit assurer pour la boucle ferme, les valeurs propres
doivent tre partie relle strictement ngative (en discret, lintrieur du cercle unit).
3. On peut transposer le choix dans le domaine frquentiel : on impose une bande passante
dsire !0 au systme boucl. Ensuite, plusieurs choix sont possibles :
Toutes les propres sont choisies gales −!0.
On identifie le polynme caractristique de A−BL un polynme de Butterworth : les n
valeurs propres sont choisies sur le cercle de rayon !0 et vrifient :


!0
2n
= (−1)n+1.
22 3. Commande dans lespace dtat
23
Chapitre 4
Synthse dobservateur
4.1 Principe
Il arrive souvent que toutes les variables dtat dun systme ne soient pas accessibles la
mesure. Dans ce cas, limplmentation directe de la commande u = −Lx est impossible. De plus,
la connaissance de la sortie y ne rsoud pas le problme. En effet, comme C nest pas inversible
la connaissance de y = Cx ne permet pas de connatre x.
Lide est donc de reconstruire ltat x partir des informations disponibles, cest--dire la
sortie y et la commande u. On utilise pour cela un systme dynamique permettant dapproximer
x : un observateur. On parle galement de reconstructeur, destimateur, de filtre...
Il y a deux environnements possibles : le cas dterministe et le cas stochastique qui permet
de prendre en compte les bruits de mesure.
Calcul de la
Systme

commande

x

y

u

Fig. 4.1 Structure de la commande dans le cas o ltat est mesurable
24 4. Synthse dobservateur
Calcul de la
Systme

commande
y

u

Observateur

tat estim

Fig. 4.2 Reconstruction de ltat
4.2 Observabilit
4.2.1 Dfinition
On considre un systme dont on connat une reprsentation dtat ([A,B,C,D]). Ce systme
est dit observable sil est possible de dterminer son tat un instant t0 donn partir dune
observation de sa sortie. Le but est de dterminer dans un premier temps une condition ncessaire
et suffisante dobservabilit dun systme.
Lvolution de ltat du systme est rgi par une quation diffrentielle matricielle du type :
dx
dt
= Ax(t) + Be(t)
La sortie est donne par :
s(t) = Cx(t) + De(t)
Daprs la dfinition donne ci-dessus de la notion dobservabilit, on peut se placer en rgime
libre, cest--dire e = 0. Dans ce cas, ltat vaut x(t) = eAtx(0) et la sortie s(t) = CeAtx(0).
Par consquent, connatre s cest connatre x(0) la condition (ncessaire et suffisante) que CeAt
soit non singulire.
Or, CeAt =
Pn−1
k=0 k(t)CAk et CeAt est non singulire si et seulement si :
obs = [ C CA CA2 ... CAn−1 ] est de rang n
Exemple : On considre le systme dcrit par :
8<
:
dx
dt =

0 1
−2 −3

1
−2

e
s(t) =

1 0

x
On trouve Obs =

1 0
0 1

qui est de rang 2 donc le systme est observable.
4.3. Reconstruction de ltat dun systme 25
4.2.2 Notion de dualit
Nous allons montrer ici que les notions dobservabilit et de commandabilit sont deux notions
duales. Pour ce faire, considrons les deux systmes (S) et (S) dfinis par :
dx
dt = Ax(t) + Be(t)
s = Cx(t)
dx
dt = Atx(t) + Cte(t)
s = Btx(t)
(S) est appel systme dual ou adjoint de (S).
On montre que (S) est commandable si et seulement si (S) est observable et que (S) est
observable si et seulement si (S) est commandable.
En effet, (S) est observable si et seulement si [ Bt BtAt Bt(At)2 ... Bt(At)n−1 ]t est
de rang n cest--dire si et seulement si
2
664
An−1B
...
AB
B
3
775
, soit encore si et seulement si (S) est
commandable.
4.3 Reconstruction de ltat dun systme
4.3.1 Synthse dobservateur
Dfinition On appelle observateur du systme un oprateur qui gnre une approximation ^
z
de la variable z = Tx sous la forme :
.^
z= F
^
z +ky + Ju
o u est la commande et y la sortie.
Si z et x ont mme dimension, lobservateur est dit complet (tout ltat est estim). On
choisit T = I (z = x) et ^
z=^ x.
Si dim(z) < dim(x) (par exemple : dim(z) = dim(x)−dim(y)), alors lobservateur est dit
dordre rduit.
Remarques :
1. Un observateur doit tre stable.
2. Un observateur doit assurer la convergence de ^
z vers z (estimation sans biais).
26 4. Synthse dobservateur
Dans le cas dterministe, la convergence scrit :
lim
t!+1
[^
z (t) − z(t)] = 0 8u, 8x(t0)
Dans le cas stochastique, on impose par exemple une convergence en valeur moyenne :
lim
t!+1
E[^
z (t) − z(t)] = 0 8u, 8x(t0)
On note (t) = z(t)−
^
z (t) lerreur de reconstruction.
4.3.2 Observateur identit
Lobservateur identit est un observateur sans biais (^
z (t) ! z si t ! +1) o z = x. Les
quations du couple (systme, observateur) sont :
8><
>:
.^ x= F
^x
+Ky + Ju
. x= Ax +
Bu
y = Cx
Exprimons lerreur destimation :
.
=.z −
.^
z=.x −
.^ x= (
Ax +
Bu) −
(
F
^x
+Ky + Ju)
.
=
(
Ax +
Bu) −
(
F
^x
+KCx + Ju) = (A − KC)x + (B − J)u − F
^x
Or, = x−
^x
, do :
.
=
(
A

KC −
F)x
+
(
B

J)u
+
F

On veut une estimation sans biais, cest--dire .
= 0 8x, 8u, ce qui quivaut :
8<
:
A − KC − F = 0
B = J
F stable
,
8<
:
F = A − KC
J = B
(A − KC) stable
Et par consquent :
.^ x= (
A

KC) ^x
+Ky + Bu
.^ x= A
^x
+Bu + K(y − C
^ x)
Posons
^
y= C
^ x, il vient :
.^ x= A
^x
+Bu + K
^
y
La figure 4.3 illustre la structure de lobservateur mise en vidence par cette dernire expression.
Lobservateur est constitu de deux parties :
4.3. Reconstruction de ltat dun systme 27
1. Un simulateur du systme rel caractris par les matrices (A,B,C), ayant comme entres
u et y et comme sortie
^
y.
2. Un correcteur ralisant une contre-raction fonction de lcart entre la sortie y et son estime
^
y. Ce correcteur permet dassurer la convergence de lestimation de ltat ^
x vers ltat x.
K est appel le gain de lobservateur. Il y a convergence si converge vers 0, cest--dire si
F est stable, soit encore si (A − KC) est stable.
-

+

-

+

+

+

B

A

u x C
y
+

+

B

A

C

^

x

K

L

Simulateur

Correcteur

o

b

s

e

r

v

a

t

e

u

r

^

y

Fig. 4.3 Structure de la commande avec synthse dun observateur
4.3.3 Synthse des observateurs identit par approche modale
Comme vu prcdemment, le problme de la synthse dun observateur consiste dterminer
un gain K tel que la matrice (A − KC) soit stable.
La solution examine ici est dimposer des valeurs propres stables pr-choisies la matrice
(A − KC).
Le problme devient donc un problme de placement de ples. En effet, les matrices (A−KC)
et (A − KC)t ont les mmes valeurs propres. Il sagit donc dimposer des valeurs propres la
matrice (At − CtKt).
Considrons maintenant le systme dual fictif (S) dfini par :
(S) .
p= Atp + Ctq
o p est la vecteur dtat et q la commande.
Le problme revient donc dterminer une commande q = −Ktp tel que les valeurs propres
du systme boucl soient en des positions pr-fixes. Cest donc bien un problme de commande
modale du systme dual (S).
28 4. Synthse dobservateur
On retrouve ici la dualit vue prcdemment entre les notions de commandabilit et dobservabilit.
4.4 Mise en vidence du correcteur
Nous montrons ici que la synthse dun observateur sapparente une correction classique
(correction srie et contre-raction unitaire sur la sortie).
Considrons le systme dfini par :
. x= Ax + Bu
y = Cx
et son correcteur :
( .
^
x= (A − KC) ^
x +Ky + Bu
u = −Lx
Sous forme frquentielle, ces quations scrivent :
(pI − A)X = BU et Y = CX
Ce qui donne :
Y = C(pI − A)−1BU
Or, U = −L
^X
et
p
^X
= (A − KC)
^X+KY −
BL
^X
On obtient donc une fonction de transfert pour le correcteur valant :
U = −L[pI − A + BL + KC]−1KY
La figure 4.4 reprsente la structure de la correction. On reconnat bien une structure dasservissement
classique.
4.4. Mise en vidence du correcteur 29
-

L(pI-A+BL+KC) K
-1
C(pI-A) B
U(p)
-1

Y(p)

retour unitaire

correcteur
systme

Fig. 4.4 Structure dasservissement classique
30 4. Synthse dobservateur
31
Chapitre 5
Bilan sur la commande par retour
dtat avec synthse dobservateur
Mise en oeuvre de la commande
La mise en oeuvre dune commande dans le cas des systmes continus suppose lhypothse
dun systme commandable et observable lorsque toutes les variables dtat ne sont pas accessibles
la mesure. On carte donc les parties non commandables ou non observables du systme. Le
problme de la commande se rsoud ensuite en trois grandes tapes :
1. Recherche de la commande en supposant x mesurable. La commande linaire est de la
forme u = −Lx, L tant dtermine par exemple en imposant des ples la boucle ferme.
2. Reconstruction de ltat. Si seul y est mesurable, il faut synthtiser un observateur, ce qui
revient dterminer un gain K assurant la stabilit de lobservateur et une estimation sans
biais.
3. La commande du systme est finalement ralise partir de ltat estim.
Deux questions se posent alors : celle de la dtermination du retour dtat L et celle de
lintrt de la mthode (la mthode conduit-elle un systme boucl performant ?)
5.1 Structure de la commande
La commande scrit u = −L
^x
et lestimation de ltat scrit ^
x= x − o dsigne lerreur
destimation. On a donc :
u = −Lx + L
Avec lobservation, la dimension du systme boucl est deux fois plus grande que celle du
systme dorigine. Examinons ltat augment dfini par la concatnation des tats relatifs au
32 5. Bilan sur la commande par retour dtat avec synthse dobservateur
systme (dorigine) et au simulateur :
x


Les quations du systme boucl prennent la forme :
8>>>><
>>>>:
.
x.

=

(A − BL) BL
0 (A − KC)

x



y
u

=

C 0
−L L

x


La matrice dtat du systme boucl vaut donc :

(A − BL) BL
0 (A − KC)

o (A−BL) est la commande dans lhypothse dun tat accessible et o (A−KC) est la matrice
observateur.
Les valeurs propres du systme boucl sont les valeurs propres de (A−BL), cest--dire celles
relatives la commande du systme plus les valeurs propres de (A − KC), cest--dire celles de
lobservateur.
En conclusion, la substitution de x par ^
x ne modifie pas les valeurs propres obtenues lors
du calcul de la commande : juste, les valeurs propres de lobservateur sajoutent celles dj
imposes. La stabilit du systme boucl nest donc pas affecte par la prsence de lobservateur
si celui-ci est sans biais (cest--dire tel que (A − KC) soit stable).
Pour que le comportement du systme boucl ne soit pas modifi de faon notable par la
prsence de lobservateur, il suffit que la reconstruction de ltat soit rapide devant la dynamique
du systme boucl (ples de (A − KC) de grand module devant ceux de (A − BL)).
5.2 Comportement dynamique du systme boucl
Comparons les comportements obtenus lorsque la commande est ralise directement partir
de ltat et lorsque celle est ralise en utilisant un observateur.
Commande ralise partir de ltat.
Les quations du systme boucl sont :
. x= Ax + Bu
u = −Lx + u0
Dans le domaine de Laplace, cela scrit :
X(p) = (pI − A + BL)−1BU0 + (pI − A + BL)−1x0
5.2. Comportement dynamique du systme boucl 33
(pI −A+BL)−1B est la matrice de transfert entre la consigne et ltat pour des consignes
initiales nulles ; (pI−A+BL)−1x0 dtermine lvolution du systme en rgime libre (u0=0).
Les ples de chaque fonction de transfert sont les valeurs propres de (A − BL).
Commande ralise en utilisant un observateur.
Les quations du systme boucl sont :
8>>>><
>>>>:
. x= Ax +
Bu
y = Cx
.^ x= A
^x
+Bu + Ky − KC
^x
u = −L
^x
+u0
Do :
. x= Ax +
B(−L
^x
+u0) = (A − BL)x + BL + Bu0
et
.
= (A − KC)
Dans le domaine de Laplace, cela scrit :
pX(p) − x0 = (A − BL)X(p) + BL + BU0
et
p − 0 = (A − KC)
Ce qui donne :
X(p) = (pI−A+BL)−1BU0+(pI−A+BL)−1x0+( pI−A+BL)−1BL(pI−A+KC)−10
Pour des conditions initiales nulles (0 = 0 et x0 = 0), ou lorsque le rgime libre est atteint,
la fonction de transfert obtenue est quivalente celle obtenue directement partir de ltat.
Les commandes sont donc quivalentes. Cela quivaut y−
^
y= 0 : lobservateur est excit
par u uniquement ; le systme est parfaitement simul.
34 5. Bilan sur la commande par retour dtat avec synthse dobservateur
35
Chapitre 6
Travaux dirigs
6.1 Travaux dirigs no1 : rappels de calcul matriciel
1. calculer le produit AB pour :
A =
2
4
−1 3 0
0 1 0
2 0 −1
3
5 et B =
2
4
2 5 0
4 −2 −1
0 3 −1
3
5
Calculer le dterminant de A. A est-elle inversible ? Pourquoi ?
2. Soient les matrices suivantes :
A =
2
4
−1 3 0
0 1 0
2 0 −1
3
5 , B =
2
4
2
−1
1
3
5 et C =

1 0 0

Que vaut le produit CAB ?
3. Soit A =

−4 4
2 −6

. Dterminer :
le polynme caractristique de A
les valeurs propres de A
des vecteurs propres et les sous-espaces propres de A
le rang de A
A est-elle diagonalisable ?
En utilisant le thorme de Cayley-Hamilton, calculer eAt
Quelle est la transforme de Laplace de eAt ?
36 6. Travaux dirigs
6.2 Travaux dirigs no2 : reprsentation dtat dun systme
6.2.1 Ecriture partir des quations dvolution du systme
On considre le moteur courant continu de la figure 6.1. Cm(t) est le couple lectromagntique.
Cn(t) est le couple de perturbation. f! est le couple de frottement visqueux et r est le
couple de rappel.
1. On choisit [ i ! ]t comme vecteur dtat. Justifier ce choix. La sortie observe y est
la position . Cn sera considr comme une entre supplmentaire. Exprimer les quations
dtat du systme.
2. Dterminer la matrice de transfert M(p) dfinie par M(p) = C(pI − A)−1B et dterminer
les transferts G(p) et Gn(p) tels que (p) = G(p)U(p) + Gn(p)Cn(p).
R
L

u(t)
e(t)

tension d'induit
excitation

i(t)

q

Fig. 6.1 Moteur courant continu
On donne les quations lectriques et mcaniques du systme :
8>><
>>:
u(t) = Ri(t) + Ldi
dt + e(t)
J d!
dt = Cm − f! − r − Cn
e(t) = km!
Cm(t) = kmi(t)
6.2.2 Ecriture partir des fonctions de transfert
1. On considre le systme rgi par lquation diffrentielle suivante :
..
y (t) + 3 .
y (t) + 2y(t) = e(t)
o y et e sont deux signaux causaux. Les conditions initiales sont nulles y(0) =.y (0) = 0.
Dterminer la fonction de transfert du systme et ses ples.
2. Dcomposer le systme en une mise en srie de systmes intgrateurs purs. En dduire la
reprsentation dtat canonique pour la commande. On choisit comme variables dtat les
sorties des systmes lmentaires.
3. Dcomposer le systme en une mise en parallle de systmes dordre 1. En dduire une
reprsentation dtat sous forme modale. On choisit comme variables dtat les sorties des
systmes lmentaires.
6.3. Travaux dirigs no3 : commande par retour dtat et placement de ples 37
4. Dcomposer le systme en une mise en srie de systmes dordre 1. En dduire une reprsentation
dtat sous forme cascade. On choisit comme variables dtat les sorties des
systmes lmentaires.
5. Quelles sont les valeurs propres des matrices dtat obtenues.
6. Reprendre les questions 2,3 et 4 pour les systmes de fonction de transfert :
H1(p) = p + 3
p2 + 3p + 2
H2(p) =
1
(p + 1)2(p + 2)
6.3 Travaux dirigs no3 : commande par retour dtat et placement
de ples
6.3.1 Exemple 1
On considre le systme causal dfini par lquation diffrentielle suivante :
...
y (t) + 3 ..
y (t) + 2 .
y (t) + y(t) = u(t)
On suppose les conditions initiales nulles. On dsire raliser une commande par retour dtat de
ce systme en imposant la boucle ferme les ples suivants : -1,-2 et -2
1. Quelle reprsentation dtat est la plus intressante pour le problme ? La construire. Donner
le schma bloc lui correspondant.
2. Calculer la commande par retour dtat satisfaisant la contrainte modale donne ci-dessus.
3. On dsire annuler lerreur statique en rponse un chelon. Dterminer la consigne en
entre u0 ncessaire.
4. Dterminer la rponse indicielle du systme corrig.
6.3.2 Exemple 2
On considre le systme double intgrateur rgi par lquation diffrentielle suivante :
d2y
dt2 = e(t)
Raliser une comande par retour dtat de la forme u(t) = −Lx + u0(t) permettant dobtenir
(−0.2 + 0.2j) et (−0.2 − 0.2j) comme ples du systme boucl et dassurer un gain statique 1
entre y(t) et u0(t).
38 6. Travaux dirigs
6.4 Travaux dirigs no4 - TP no3 : exemple du pendule invers
(stabilisation, synthse dobservateur)
Ce sujet fait lobjet dune sance prpare de travail dirig puis dune sance de simulation
sur ordinateur visant valider les calculs thoriques effectus.
On se propose dtudier le problme de la stabilisation du pendule invers. Le systme consiste
en un pendule invers embarqu sur un chariot. Le systme (chariot+pendule) est rgi par les
quations diffrentielles suivantes (approximes lordre 1) :
(M + m) ..
y +ml
..
−u(t) = 0
ml
..
y +ml2
..
−mgl = 0
y est la position du chariot, langle de rotation du pendule par rapport la verticale.
1. On choisit comme variables dtat : la position y du chariot, sa vitesse de dplacement
.y
,
langle du pendule par rapport la verticale et sa vitesse de rotation angulaire
.
. Ecrire
lquation dtat associe au systme :
. x= Ax +
Bu
2. Quels sont les ples du systme ? Conclure quant sa stabilit. On posera :
a =
q
M+m
M
g
l , b =
q
g
l , K = 1
M
et on prendra pour les applications numriques :
M = 0.5kg , m = 0.05kg , l = 5m , g = 10ms−2
3. On cherche raliser une commande modale du systme par un retour dtat. Afin de
faciliter le calcul de la commande, on se propose dcrire le systme sous forme compagne
pour la commande en oprant un changement de base.
(a) Dterminer partir des quations diffrentielles les fonctions de transfert suivantes :
H1(p) = (p)
U(p) et H2(p) = Y (p)
U(p)
(b) On considre une variable q(t) dfinie par :
Q(p)
U(p)
=
1
p2(p2 − a2)
et on choisit comme nouveau vecteur dtat :
r = [ q
.q
..
q
...
q ]
Ecrire la nouvelle reprsentation dtat du systme. Quelle est la forme ainsi obtenue ?
(c) Ecrire la relation matricielle qui existe entre q et x.
6.5. Travaux dirigs no5 : exemple des cuves en cascade (commande des
systmes perturbs) 39
(d) Dterminer, dans la nouvelle base de reprsentation, la commande linaire Lr permettant
dimposer les ples suivants au systme :
(−1 − j) (−1 + j) −5 −6
(e) Montrer que la commande L exprime dans le premier espace dtat se dduit de Lr
par une relation du type :
L = LrP−1
Que reprsente P ? *
(f) Calculer L.
4. On suppose que ltat complet du systme nest pas accessible la mesure et que seul le
dplacement du chariot est connu (1 seul capteur). On dcide alors de reconstruire ltat
du systme partir de cette seule mesure.
(a) Montrer que le systme est observable.
(b) Reprsenter le couple (systme+observateur) sous forme dun schma bloc.
(c) Calculer le gain K de lobservateur permettant dassurer une dynamique de lobservateur
5 fois plus grande que celle du systme. Justifier ce choix.
5. Montrer que le correcteur constitu du retour dtat et de lobservateur est quivalent au
correcteur dynamique :
C(p) = L(pI − A + BK + LC)−1K
6. On montre que le correcteur ainsi obtenu nest pas stable, ce qui signifie quil nest pas
possible de stabiliser le pendule en utilisant un seul capteur de position. Ce point ncessite
des calculs complexes qui seront effectus laide de Matlab en sance de TP.
6.5 Travaux dirigs no5 : exemple des cuves en cascade (commande
des systmes perturbs)
Cet exemple est issu du cours polycopi dautomatique de G. Duc, Suplec, 1988.
Ce sujet est intgralement rsolu comme illustration pendant le cours.
On se propose dtudier le probme de la commande dun systme compos de quatre cuves
en cascade (voir figure 6.2).
Au point nominal de fonctionnement (H0,Q0), les quations du systme scrivent :
8>><
>>:
S dh1
dt = q1 − kh1
S dh2
dt = kh1 − kh2
S dh3
dt = q2 − kh2 − kh3
S dh2
dt = kh3 − kh4
40 6. Travaux dirigs
Ho+h1

Ho+h2

Ho+h3

Ho+h4

Qo+q1

Qo+q2

Fig. 6.2 Quatre cuves en cascade alimentes par des lectro-vannes
On donne
a = k
S = 0.25(USI) b = 1
S = 1.5(USI)
1. On choisit
2
664
h1
h2
h3
h4
3
775
comme vecteur dtat. La commande est u =

q1
q2

. Ecrire les quations
dtat du systme.
2. Quels sont les ples du systme ? Le systme est-il stable ? Quelle est sa dynamique
(constante de temps relative chaque cuve) ?
3. On dsire imposer une valeur propre quadruple au systme −c < −a. Quelle va tre la
consquence sur la dynamique du systme ? Dterminer le retour dtat L permettant
dimposer (−c) comme ple quadruple (indication : pour allger les calculs, utiliser la
symtrie). Application numrique pour c = 0.5 et c = 1.
4. La pluie est considre comme une perturbation extrieure au systme. On modlise linfluence
du dbit qs d la pluie par :
dx
dt
= Ax + Bu +
2
664
b
b
b
b
3
775
qs
6.6. Travaux dirigs no6 : analyse et commande dun systme discret 41
On note
F =
2
664
b
b
b
b
3
775
et b = 1.5(USI)
On cherche rguler les hauteurs des cuves 2 et 4, cest--dire les rendre insensible au
dbit qs.
(a) Montrer quil est impossible de rendre tout ltat insensible qs.
(b) La commande scrit maintenant : u = −Lx−Lsqs. Chercher Ls telle que y =

h2
h4

soit indpendante de qs. (Indication : considrer ltat augment

x
qs

et crire les
nouvelles quations du systme augment).
6.6 Travaux dirigs no6 : analyse et commande dun systme discret
1. On considre le systme discret de transmittance :
F(z) = z + 1
z3 + 6z2 + 8z
Donner sa reprsentation dtat sous la forme :
(a) Canonique pour la commande. Donner le scma bloc correspondant (dcomposition
du systme sous forme de cellules de retard lmentaires).
(b) Parallle (dcomposition en lments simples).
(c) Srie (mise en srie de systmes lmentaires).
Indication : conseill de traiter dabord le cas sans numrateur puis de dduire le rsultat
avec numrateur.
2. On considre le systme continu suivant :
8>><
>>:
. x=

0 1
−!2
0 0

x +

0
−!2
0

u
y =

1 0

x
(a) Le systme continu est-il commandable ? observable ?
(b) Dterminer la fonction de transfert F(p) du systme continu.
(c) On discrtise le systme en utilisan un bloqueur dordre 0 (voir figure 6.3). Dterminer
la transmittance G(z) du systme discret.
(d) Donner sa reprsentation sous forme compagne
(e) Le systme discret est-il observable ? commandable ?
42 6. Travaux dirigs
Bo(p)
F(p)

Fig. 6.3 ? ? ?
D(z)
Bo(p)
F(p)

e(t)
m(t) s(t)
Fig. 6.4 ? ? ?
3. On considre le systme asservi de la figure 6.4. Le systme continu a pour fonction de
transfert :
F(p) =
1
p(p + 1)
La commande est ralise par un calculateur ; llment de commande est donc discret. Il
est not D(z) :
D(z) = a0 + a1z−1
1 + b1z−1
Dautre part, on utilise un chantillonneur bloqueur dordre 0.
On considere comme vecteur dtat le vecteur form de chacune des sorties des lments
du systme asservi. On note x ce veteur.
On suppose la dynamique des chantillonneurs trs grande devant celle des systmes dynamiques.
On se place entre deux instants dchantillonnage tn et tn+1 :
(a) Entre tn et t+n < tn+1, lchantillonnage a lieu. Ecrire lquation matricielle entre
x(t+n ), x(tn) et e(tn).
(b) Entre t+n et t++
n < tn+1, le calculateur termine son cycle. Ecrire lquation matricielle
entre x(t++
n ), x(t+n ) et e(t+n ).
(c) Entre t++
n et tn+1, le systeme command ragit. Ecrire lquation matricielle entre
x(tn+1), x(t++
n ) et e(t++
n ).
(d) En dduire lquation dtat du systme : x(tn+1) en fonction de x(tn) et de de e(tn).
43
Chapitre 7
Travaux pratiques
44 7. Travaux pratiques
Master 1 Travaux Pratiques Automatique Avance
24/10/2008 MAMMAR
ANALYSE ET COMMANDE DES SYSTEMES LINEAIRES
Sances 1 et 2
Nota : Les fonctions de matlab sont donnes dans une autre police.
1. Analyse de la stabilit d'un systme
Considrons le systme
G p
p
p
( ) p
( )
( )( )
=
+
− −
1
1
3
1
Ce systme est-t'il stable ?
Dfinir la fonction de transfert G(p) du systme sous matlab
num= [1 1];
den=conv([-1 1],[-1/3 1]);
puis appliquer la commande tf2ss. Expliquer.
1.1 Cas K = 1
Calcul des ples du systme (racines du dnominateur)
roots(den)
Proposer une autre mthode pour trouver les ples du systme grce la
commande eig.
Trac du diagramme de bode de G(p) (les chelles sont choisies
automatiquement).
bode(num,den);
Trac du diagramme de Nyquist de G(p) (les chelles sont choisies
automatiquement).
nyquist(num,den);
Critre de Nyquist Le systme sera stable en boucle ferm si le diagramme de
Nyquist entoure autant de fois le point -1 qu'il ya de ples instables dans le
systme en boucle ouverte.
Le systme en boucle ferme est-il stable ?
Vrification : Formons la boucle ferme par la fonction cloop
[numbf1,denbf1]=cloop(K*num,den,-1);
Calcul des ples du systme en boucle ferme (racines du dnominateur)
roots(denbf)
1.2 Cas K = 10
K = 10;
Trac du diagramme de bode de K.G(p), les chelles sont choisies
automatiquement.
bode(K*num,den);
Trac du diagramme de Nyquist de G(p), les chelles sont choisies
automatiquement.
K G(p)
r(t) y(t)
_
Master 1 Travaux Pratiques Automatique Avance
24/10/2008 MAMMAR
nyquist(K*num,den);
Quel est le; nombre d'encerclement du point -1. Le systme en boucle ferme estil
stable ?
Vrification : Formons la boucle ferme par la fonction cloop
[numbf1,denbf1]=cloop(K*num,den,-1);
Calcul des ples du systme en boucle ferme (racines du dnominateur)
roots(denbf)
Vrification sur la rponse indicielle
step(numbf,denbf);
1.3 Valeur limite de K assurant la stabilit
Le systme est stable pour K = 10 et instable pour K =1.
Rpter la fonction suivante pour K allant de 1 1.5 par pas de 0.1.
nyquist(K*num,den);
Conclusion quelle est la valeur limite de K assurant la stabilit du systme boucl
?
Quels sont alors les ples du systme en boucle ferme ?
2. Synthse de Correcteurs
2.1 synthse d'un correcteur a avance de phase
Un correcteur avance de phase permet d'augmenter la marge de phase du
systme au voisinage de la bande passante. Sa fonction de transfert s'crit sous la
forme
C( p) = K avec a <
(1+ T. p)
(1+ a.T.P)
1
Considrons le systme
G p
p p
( )
( )(. )
=
+ +
10
5 1 013 1
num=10;
den=conv([5 1],[.13 1]);
Le gain statique du systme vaut G(0) = 10. Vrification :
dcgain(num,den)
On dsire une erreur statique en boucle ferme de 1%
0 01
11
1 0 0
1
1 10
.
(( ). ( ) .
=
+
=
C G + K
d'o K = 10.
K=10
On dsire un temps de rponse en boucle ferme de 0.2 seconde. Une formule
empirique permet de relier la pulsation de coupure ωc au temps de rponse tr.
tr. ωc = π
Donc la pulsation de coupure est gale 15 rd/s
wc = 15;
Dtermination de la marge de gain et de phase la pulsation de coupure.
bode(K*num,den);
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24/10/2008 MAMMAR
margin(K*num,den);
La marge de phase du systme cette pulsation est de 28.
On dsire un dpassement sur la rponse indicielle de mois de 20%. Ceci entrane
une marge de phase de 45. Le correcteur doit donc apporter une marge de phase
de 17
a =(1-sin(17/180*pi))/(1+sin(17/180*pi));
T = 1/(sqrt(a)*wc);
Calculons la fonction de transfert du correcteur :
numcor=K*[T 1]
dencor=[a*T 1]
Tracer le diagramme de bode du correcteur
bode(numcor,dencor);
Formons la boucle ouverte C(p).G(p), soit en multipliant numrateurs entre eux et
dnominateurs entre eux. Soit en utilisant la fonction series
[numbo,denbo]=series(numcor,dencor,num,den) ;
Trac du diagramme de la boucle ouverte
bode(numbo,denbo);
Vrifier la marge de phase et la bande passante. Remarques
margin(numbo,denbo);
Fonction de transfert de la boucle ferme');
[numbf,denbf]=cloop(numbo,denbo,-1);
Tracer maintenant la rponse indicielle du systme
step(numbf,denbf);
Est ce que le cahier des charges est ralis.
2.2 synthse d'un correcteur Proportionnel Integral (PI)
Considrons le systme d'ordre 2 suivant :
G p
p p
( )
( )(. )
=
+ +
10
1 005 1
On dsire synthtiser un correcteur annulant l'erreur statique. Le systme n'tant
pas intgrateur, le correcteur doit l'tre. On choisit donc le correcteur
proportionnel intgral.
C p K T p
T p
i
i
( ) = ( )
1 +
On choisit le correcteur le plus simplement possible en dcidant de compenser le
ple (-1) du systme. Donc :
Ti = 1;
K = 1;
Calculons la fonction de transfert du correcteur
numcor=K*[Ti 1]
dencor=[Ti 0]
Tracer le diagramme de bode du correcteur
bode(numcor,dencor);
Formons la boucle ouverte C(p).G(p).
[numbo,denbo]=series(numcor,dencor,num,den) ;
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24/10/2008 MAMMAR
Trac du diagramme de la boucle ouverte
bode(numbo,denbo);
Vrifier la marge de phase et la bande passante. Remarques
margin(numbo,denbo);
Fonction de transfert de la boucle ferme');
[numbf,denbf]=cloop(numbo,denbo,-1);
Tracer maintenant la rponse indicielle du systme
step(numbf,denbf);
Est ce que le cahier des charges est ralis ?.
Calculons la rponse du systme une rampe. L'erreur pour un chelon tant
nulle, elle doit tre constante pour une rampe.
u = 0:.1:10;
[y,x]=lsim(numbf,denbf,u,u);
plot(u,y);
2.3 synthse d'un correcteur Proportionnel Intgral Drive (PID)
Considrons le systme d'ordre 3 suivant :
G p
p p p
( )
( . )( . )( . )
=
+ + +
1
01 1 0 2 1 0 4 1
num=1;
den=conv([.1 1],conv([.2 1],[.4 1]));
On dsire synthtiser un correcteur annulant l'erreur statique et assurant une bonne
prcision. Le systme n'tant pas intgrateur, le correcteur doit l'tre. On choisit
donc le correcteur proportionnel intgral.drive
C p K
T p
T p
i
( ) = + + d

⎣ ⎢

⎦ ⎥
1 1
2.2.1 Rglage des paramtres par la mthode de Ziegler-Nichols
On augmente le gain K de la figure ci-dessus de manire rendre le systme
oscillant (limite de stabilit). Soit Ku cette valeur limite de K et Pu la priode des
oscillations observe. On peut donc choisir comme paramtres du rgulateur :
K= 0.6*Ku
Ti=0.5*Pu
Td = 1/8*Pu
2.2.1 Rglage empirique des paramtres
Dans une premire tape, on rduit le rgulateur l'action proportionnelle K seule
(Ti infini et Td nul). On augmente K de faon avoir un dpassement de 20% sur
la rponse indicielle en boucle ferme. On diminue alors Ti de faon avoir aussi
un dpassement de 20% avec une erreur statique nulle. Finalement on augmente
Td pour avoir le dpassement dsir.
Pour ce systme des valeurs possibles sont :
K = 1.2;
Ti = 0.4;
Td = 0.13;
K G(p)
r(t) y(t)
_
Master 1 Travaux Pratiques Automatique Avance
24/10/2008 MAMMAR
3 Simulation Temporelle en utilisant simulink.
Les systmes en boucle ferme ont t raliss pour chacune des tudes
prcdentes. Ces fichiers peuvent tre complts si on le dsire.
sta_sim.m tude de la stabilit du systme par observation de la rponse
indicielle pour diffrentes valeurs du gain
av_sim.m tude du systme corrig par correcteur avance de phase.
Observation de la rponse diffrents signaux
pi_sim.m tude du systme corrig par correcteur PI. Observation de la
rponse diffrents signaux d'entre et de perturbation
pid_sim.m tude du systme corrig par correcteur PID. Observation de la
rponse diffrents signaux d'entre et de perturbation
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24/10/2008 MAMMAR
REPRESENTATION DETAT - COMMANDE TEMPORELLE
Sance 2
Considrons le systme
p p p
G p p
7 8
( ) (1 2 ) 3 + 2 −
+
=
I. Etude en boucle ouverte
1. Quels sont les ples du systme ?
2. Le systme est-t-il stable en boucle ouverte ?
3. Le systme est-il stable en boucle ferme (rtro-action unitaire ngative) ?
4. Donner les matrices A, B, C et D de la reprsentation dtat du systme en
boucle ouverte
II. Commande par placement de ples
5. Le systme est-il commandable ?
6. Dterminer le retour dtat L permettant de placer les ples de la boucle
ferme en [-10 ; -5(1+ √3 j) ; -5(1-√3 j)]
7. Dterminer la fonction de transfert du systme en boucle ferme.
8. Dterminer le temps de rponse du systme en boucle ferme. Expliquez.
9. Dterminer la marge de phase du systme en boucle ferme. Expliquez.
10. Dterminer la marge de gain du systme en boucle ferme. Expliquer.
11. Dterminer lerreur statique en rponse un chelon.
12. Dterminer lerreur statique en rponse une rampe.
III. Commande intgrale
13. Dterminer une commande intgrale permettant dannuler lerreur statique
du systme en rponse un chelon.
14. Dterminer le temps de rponse du systme en boucle ferme. Expliquez.
15. Dterminer la marge de phase du systme en boucle ferme. Expliquez.
16. Dterminer la marge de gain du systme en boucle ferme. Expliquer.
17. Dterminer lerreur statique en rponse une rampe.
IV. Synthse dobservateur
18. Le systme est-il observable ?
19. Dterminer le gain K de lobservateur permettant dassurer une estimation
correcte de ltat du systme sans en perturber le fonctionnement.
20. Dterminer la fonction de tranfert de lestimateur
21. Dterminer le temps de rponse du couple (systme+ observateur) en
boucle ouverte. Expliquez.
22. Dterminer le temps de rponse du couple (systme+ observateur) en
boucle ferme. Expliquez.
23. Dterminer la marge de phase du systme en boucle ferme. Expliquez.
24. Dterminer la marge de gain du systme en boucle ferme. Expliquer.
25. Dterminer lerreur statique en rponse un chelon.
26. Dterminer lerreur statique en rponse une rampe.
59
Chapitre 8
Annales dexamens
60 8. Annales dexamens
Matrise EEA - Formation Initiale - Formation Continue
Universite Paris XII - Val de Marne
Examen de Representation dEtat
19 mai 2004
Duree : 2 heures
Aucun document nest autorise
horizontale
vecteur vitesse
gouverne G
Gx
Gz
Gy
+
a
q
d
Figure 1: Etude du mouvement de tangage dun avion.
Le mod`ele de tangage dun avion dans le plan vertical est decrit par les
equations suivantes :
d
dt
− q = −2 − 0.05 cos − 10 (1)
dq
dt
= −11 − 7q − 100 (2)
d
dt
= q (3)
(t) est langle dincidence, (t) est lassiette, q(t) est la vitesse de rotation
autour de laxe Gy, (t) est langle de braquage de la gouverne.
1
A. Modelisation autour du regime permanent
1. Determiner les valeurs 0,0 et q0 des differentes grandeurs pour le regime permanent
correspondant `a une position horizontale de lavion, cest-`a-dire 0 = 0.
2. On pose = 0 + 1, = 0 + 1, = 0 + 1 et q = q0 + q1.
En faisant lapproximation cos = cos 0, determiner les equations differentielles
lineraires satisfaites par 1, 1, 1 et q1.
3. En supposant toutes les condtions initiales nulles, montrer que la transmittance
H1(p) = 1(p)
1(p) vaut :
H1(p) = 1(p)
1(p)
=
−10(10p + 9)
p(p2 + 9p + 25)
B. Etude du syst`eme en boucle ouverte
On reprend le syst`eme precedent de fonction de transfert H1(p). Lentree du
syst`eme est langle de braquage de la gouverne 1. la sortie est lassiette 1.
1. Construire la representation detat du syst`eme sous forme compagne pour
la commande (equation detat et equation de sortie). On notera x le
vecteur detat. On precisera bien comment le vecteur x est defini.
2. Quels sont les poles du syst`eme ?
3. Le syst`eme est-il stable en boucle ouverte ?
4. Le syst`eme est-il commandable ?
C. Commande du syst`eme dans lespace detat
1. Determiner, dans la forme compagne pour la commande precedemment
determinee, le retour detat L permettant dimposer les poles −5, −9+j
p
19
2
et −9−j
p
19
2 `a la boucle fermee.
2. Disposer les poles imposes sur le cercle unite et commenter ce choix de
poles.
3. Exprimer la commande calculee (que lon nontera u) en fonction de 1, de
1 etd e ses derivees.
4. Determiner la fonction de transfert H2(p) du syst`eme asservi.
5. Determiner la valeur de la sortie du syst`eme asservi en regime statique en
reponse `a un echelon unitaire.
2
Universite Paris 12 - Master 1 Option Sciences de lIngenieur
Automatique avancee
Controle final du 24 janvier 2006
(Duree 2h - Tous les documents sont interdits)
Les trois exercices sont independants.
1. On consid`ere le syst`eme `a une entree, une sortie et dordre n associe `a la representation
detat suivante :

x˙ = Ax + Be
s = Cx
(a) Quelles sont les dimensions des matrices A, B et C ?
(b) Quel nom donne-t-on `a la matrice A ?
(c) Que representent les valeurs propres de la matrice A ?
(d) Que doit satisfaire A pour que le syst`eme soit stable ?
(e) Donner lexpression de la fonction de transfert du syst`eme en fonction de A,
B et C.
(f) Donner la condition portant sur A et B pour que le syst`eme soit commandable.
(g) Ecrire lexpression generale de la commande par retour detat et donner une
representation schematique du coupe syst`eme + retour detat.
(h) Donner la condition portant sur A et C pour que le syst`eme soit observable.
(i) Rappeler les equations de lobservateur identite.
(j) Faire une representation schematique de lensemble syst`eme + retour detat
+ observateur.
2. Soit le syst`eme decrit par le schema de la figure 1.
On prend comme vecteur detat, le vecteur X suivant:
X = [x1, x2, x3, x4]T
(a) Ecrire la representation detat de ce syst`eme.
(b) Etudier la commandabilite et lobservabilite en utilisant les matrices de commandabilit
e et dobservabilite.
(c) A partir du schema fonctionnel de la figure 1, determiner la fonction de transfert
du syst`eme.






- m
-
-
?
6
-
-
-
?
6
-
−2
p+1
3
p+2
+
+
1
p−1
1
p+3
0.5
0.5
+
+
U
x1
x2
x3
x4
Y
Figure 1: Schema fonctionnel du syst`eme
(d) En effectuant un changement de variables detat, determiner la representation
detat du syst`eme sous forme modale.
(e) Etudier la commandabilite et lobservabilite dans cette nouvelle representation
detat.
(f) Donner le schema fonctionnel correspondant `a la forme modale (decomposition
parall`ele) et analyser la commandabilite et lobservabilite sur le schema.
3. On consid`ere le syst`eme ayant pour fonction de transfert :
H(p) =
1
p(p + 1)
(a) Donner la representation detat du syst`eme sous forme compagne pour la
commande. On notera x le vecteur detat associe `a cette representation.
(b) Donner le schema fonctionnel correspondant `a cette representation.
(c) Determiner le retour detat L necessaire pour imposer −2 et −5 comme poles
du syst`eme boucle.
(d) Determiner la fonction de transfert du syst`eme boucle.
Universite Paris 12 - Master 1 Sciences de lIngenieur
AUTOMATIQUE AVANCEE
Examen du 29 juin 2006
Duree 2h
Documents et calculatrices sont interdits
Il est demande de bien justifier les reponses
EXERCICE I
On consid`ere le syst`eme de fonction de transfert H(p) = S(p)
U(p) = 1
p2
1. Construire la representation detat du syst`eme sous forme compagne
pour la commande (mise en serie dintegrateurs purs). On notera x le
vecteur detat.
2. Donner la representation schematique associee `a la forme compagne
en faisant clairement apparaıtre les variables detat.
3. On decide dameliorer la dynamique du syst`eme `a laide dune commande
par retour detat de la forme u(t) = −Kx(t)+u0 o`u u designe
la commande, x letat et u0 la consigne en entree. Expliquer par un
shema en quoi consiste la commande par retour detat.
4. Donner les equations du syst`eme en boucle fermee
5. Determiner K pour que les poles de la boucle fermee soient −1 + j et
−1 − j.
6. Determiner u0 permettant dobtenir une valeur statique en sortie unitaire
en reponse `a un echelon unitaire.
7. Que vaut alors la fonction de tranfert du syst`eme commande ?
1
EXERCICE II
On consid`ere le syst`eme decrit par la representation detat suivante:
8>>>><
>>>>:
x˙ =
2
4
0 0 0
0 −1 0
0 0 −20
3
5x +
2
4
1
1
1
3
5e
s =

25 −500
19
25
19

x
e est lentree, s est la sortie, x est le vecteur detat.
1. Quel est le nom de la matrice
2
4
0 0 0
0 −1 0
0 0 −20
3
5 ?
2. Quel est lordre du syst`eme ?
3. Quels sont les poles du syst`eme ?
4. Le syst`eme est-il stable en boucle ouverte ? Pourquoi ?
5. Le syst`eme est-il commandable ? Pourquoi ?
6. Nommer la forme de la representation detat ci-dessus.
7. Montrer que la fonction de transfert du syst`eme vaut
H(p) = S(p)
E(p)
=
500
p3 + 21p2 + 20p
8. Quelle est lequation differentielle satisfaite par les variables s et e. On
notera s˙, s,
...
s ... les derivees successives de s(t).
9. Faire le shema bloc correspondant `a la representation compagne pour
la commande (le syst`eme est mis sous forme dune serie dintegrateurs
purs).
10. Donner la representation detat du syst`eme sous forme compagne pour
la commande. Dans cette representation le vecteur detat sera note q.
11. Donner la relation qui existe entre q et s.
2
Universite Paris 12 - Master 1 Sciences de lIngenieur
AUTOMATIQUE AVANCEE
Examen du 21 juin 2007
Duree 2h
Documents et calculatrices sont interdits
Il est demande de bien justifier les reponses
EXERCICE I
Soit le syst`eme decrit par le shema de la figure 1.
Figure 1: Shema fonctionnel du syst`eme.
On prend comme vecteur detat le vecteur x = [x1x2x3x4]t
1. Ecrire la representation detat de ce syst`eme.
2. Ecrire les matrices de commandabilite et dobservabilite. Calculer les
rangs de ces matrices. Conclure sur la commandabilite et lobservabilite
du syst`eme.
3. A partir de la representation detat ci-dessus, determiner la fonction
de transfert du sys`eme. Quel est lordre du syst`eme ? Conclure.
1
EXERCICE II
On consid`ere le syst`eme ayant pour fonction de transfert:
F(p) = Y (p)
E(p)
= p + 3
p(p + 1)(p + 2)
1. Donner la representation detat du syst`eme sous forme compagne pour
la commande. On notera x le vecteur detat. On precisera bien ce que
vaut x.
2. Dessiner le shema fonctionnel correspondant `a cette representation.
3. Determiner le retour detat L necessaire pour imposer les valeurs −2,
−5 et −10 comme poles du syst`eme boucle.
4. Determiner la fonction de transfert du syst`eme boucle.
EXERCICE III
1. Rappeler le role de lobservateur dans la commande des syst`emes.
2. Rappeler les equations de lobservateur identite.
3. Donner la representation shematique de lensemble [ sys`eme + retour
detat + observateur identite ].
2
Universite Paris 12 Examen du 10 janvier 2008 Master 1 SDIA
Automatique avancee
Duree 3h.
Tous les documents sont interdits.
Le probl`eme se divise en trois parties independantes.
On se propose daborder le probl`eme du controle du pointage dun satellite en orbite
autour de la terre. Cest un probl`eme courant dans le domaine spatial. Une
representation shematique du satellite est donnee en figure 1.
q1
q2
Corps principal
Dispositif de mesure
Figure 1: Pointage dun satellite.
Partie I : modelisation du syst`eme (4 points)
La liaison flexible est constituee dune inertie J1 (corps principal), dune inertie J2 (dispositif
de mesure) reliees par un ressort incluant une raideur Kr et un frottement visqueux
Br : voir figure 2.
J1 J2
Kr
Br
G
Figure 2: Representation de la liaison flexible.
On note *1 = ˙1 et *2 = ˙2 les vitesses angulaires du corps principal et du dispositif
de mesure. ¡ est le couple de commande exerce par le syst`eme de propulsion. On note
¡r le couple auquel est soumis le ressort. Les valeurs des param`etres sont les suivantes :
8>><
>>:
J1 = 1Kgm2
J2 = 0.1Kgm2
Br = 3.6 10−3 N ms rad−1
Kr = 9.1 10−2 N mrad−1
1. On consid`ere que linertie J1 est isolee mecaniquement et lon rappelle la seconde
loi de Newton :
J1
d*1
dt
= ¡ − ¡r
Completer le shema bloc suivant representant ce sous-syst`eme :
+
-
G
Gr
W? 1
Figure 3:
2. On consid`ere que le ressort est isole mecaniquement et que leffort ¡r est lie aux
positions angulaires 1 et 2 et aux vitesses angulaires *1 = ˙1 et *2 = ˙2 par
lequation
¡r = Kr(1 − 2) + Br(*1 − *2)
Completer le shema bloc suivant representant ce sous-syst`eme :
+
-
Gr
W1
?
W2
? +
+
Figure 4:
3. Enfin, linertie J2 etant supposee isolee mecaniquement, on a
J2
d*2
dt
= ¡r
Donner le shema bloc representant ce sous-syst`eme.
4. Lentree du syst`eme est u = ¡ et la sortie est y = 2. Deduire des questions
precedentes la fonction de transfert du syst`eme
H(p) =
Y (p)
U(p)
On notera a1 = Kr
J1
, a2 = Kr
J2
, b1 = Br
J1
, b2 = Br
J2
, c = 1
J1
.
Partie II : Representation detat du syst`eme (8 points)
1. Deduire des equations differentielles du syst`eme une representation detat du syst`eme
en considerant letat
x =
2
664
1
2
˙1
˙2
3
775
2. Calculer les produits a1b2 et a2b1 et montrer que a1b2 = b2a1.
3. Quels sont les poles du syst`eme ? Le syst`eme est-il stable ? Le syst`eme est-il
asymptotiquement stable ?
4. A partir de cette representation detat du syst`eme, calculer la reponse du syst`eme
en regime libre (u = 0) pour la condition initiale suivante :
x(t = 0) =
2
664
0.1
0.1
0
0
3
775
5. Representer la forme de la reponse du syst`eme `a une entree en echelon. Commenter
les roles de chaque pole. Decrire le comportement dynamique et statique
du syst`eme.
6. A partir de cette representation detat, retrouver lexpression de la fonction de
transfert dej`a calculee dans la partie I.
7. Le syst`eme est-il commandable ?
Partie III : Commande par placement de poles (8
points)
On fournit, pour la resolution de cette partie, la fonction de transfert du syst`eme dej`a
calculee dans la partie I. Elle vaut :
H(p) =
c(b2p + a2)
p2(p2 + p(b1 + b2) + a1 + a2)
1. Donner la representation detat du syst`eme sous forme compagne pour la commande.
On notera ex le vecteur detat dans cette representation. On precisera ce
que vaut ex en fonction de y (remarque : attention au numerateur).
2. Exprimer ex en fonction de x.
3. Pour eviter le phenom`eme de resonance, on propose dimposer de nouveaux poles
au syst`eme en effectuant un retour detat lineaire. La commande secrit alors
u = e − Lx = e − ˜L ˜x. Exprimer L en fonction de ˜L.
4. On choisit dimposer au syst`eme commande les poles −0, 02+j, −0, 02−j, −10+30j
et −10 − 30j. Commenter ce choix.
5. Determiner ˜L permettant dimposer ces poles au syst`eme boucle.
6. En deduire L et lexpression de la commande en fonction de 1, 2, ˙1 et ˙2.
7. Seuls les angles 1, 2 sont accessibles `a la mesure. Expliquer (par un schema)
comment il est possible destimer les grandeurs ˙1 et ˙2 utiles au calcul de la
commande. A quelle condition cette strategie est-elle realisable ?
Universite Paris 12 - Master 1 SDIA
AUTOMATIQUE AVANCEE
Examen du 3 juillet 2008
Duree 2h
Documents et calculatrices sont interdits
Il est demande de bien justifier les reponses
EXERCICE I
On consid`ere le syst`eme decrit par le shema de la figure 1.
q1
.
q2
. q2
q1
c2
c1
e y
b2
b1
a2
a1
Figure 1: Shema fonctionnel du syst`eme.
En choisissant q1 et q2 comme variables detat le vecteur,
1. Ecrire la representation detat de ce syst`eme.
2. Donner lexpression de sa fonction de transfert
3. A quelle(s) condition(s) le syst`eme est-il stable ?
4. A quelle(s) condition(s) le syst`eme est-il commandable ?
5. A quelle(s) condition(s) le syst`eme est-il observable ?
1
75
Bibliographie
Sur lautomatique avance
L. Jaulin. Reprsentation dtat pour la modlisation et la commande des systmes. Herms, Lavoisier.
Problmes dautomatique avec solutions
E. Boilot, ouvrage collectif. Asservissements et rgulations continus (analyse et synthse). Ed.
Technip.
Sur lalgbre matricielle
S. Mammar, Élments dalgbre matricielle, url : http ://lsc.univ-evry.fr/ smam/
Fonctions matlab utiles
S. Mammar, Quelques fonctions matlab, http://lsc.univ-evry.fr/~smam/fmatlab_ts31.html
Le site de Wikipdia, trs bien conu et trs clair (avec quelques rfrences douvrages
en anglais)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Reprsentation_dtat


chivu24    
03-06-2011, 08:58 AM
  #2
miloud khadir
 
La spécialité: Tlcommunications
: 01-05-2011
:
: 23
miloud khadir
:

Frquencemtre analogique
miloud khadir    

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reprÉsentation dÉtat

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