مجموعة دروس و تطبيقات لطلبة الماستر

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في: نيسـان 11, 2010, 01:13:50 مسائاً
UNIVERSITÉ PARIS XII-VAL DE MARNE
UFR Sciences et Technologie
REPRÉSENTATION D’ÉTAT
ET
COMMANDE DANS L’ESPACE D’ÉTAT
Master 1
Mention Sciences de l’Ingénieur
Corinne VACHIER
Dernière mise à jour septembre 2007

i
Avant propos
L’automatique désigne tout ensemble de commandes visant à asservir un système. Elle est au
coeur des grandes évolutions technologiques. Un des exemples les plus fameux est certainement
le pilotage automatique des véhicules : avions, trains, voitures... Le système (le véhicule) reçoit
des informations (vitesse, angle de braquage...) et réagit en fonction de l’environnement extérieur
(dérive, accélération...). Pour imposer au véhicule un comportement, il faut le commander, c’està-
dire asservir son comportement sur une ou plusieurs consignes. Si l’on prend l’exemple d’un
véhicule, le système d’asservissement agit sur le système à la manière d’un conducteur qui, selon
la pente, la dérive, le vent et les obligations du code de la route, va contrôler via le volant, les
pédales, le comportement de son véhicule. Lorsqu’il n’y a pas de pilotage automatique, c’est le
conducteur qui réalise la correction. Dans le cas d’un pilotage automatique, il faut synthétiser
un correcteur susceptible de réagir correctement dans le plus grand nombres de circonstantes
possibles et cappable d’atteindre la consigne au plus juste. On parle de commande robuste et
précise.
Comment cet asservissement est-il réalisé ? Comme dans le cas d’un pilote humain, le comportement
du système est, dans un premier temps, mesuré via des capteurs (compteur de vitesse
par exemple). Dans un deuxième temps, cette information est comparée à la consigne (limitation
de vitesse) et dans un deuxième trois, le correcteur (comme le conducteur) va corriger son action
sur le véhicule (plus d’accélération, moins d’accélération, freinage...) afin d’amener son véhicule à
la vitesse correspondant à la consigne. La prise en compte de la sortie dans le processus de commande
est appelé en automatique une boucle de rétroaction (feedback en anglais) et l’ensemble
constitué du système (la voiture) et du correcteur (le conducteur ou le pilote automatique) forme
un système en boucle fermée : voir figure 1. Une conduite effectuée sans regarder le compteur ou
la route correspond à un système en boucle ouverte.
La structure d’asservissement par rétroaction est présente dans de nombreux systèmes, y
compris dans des systèmes naturels. L’équilibre de l’homme par exemple fait intervenir une
SYSTEME
(voiture)
CORRECTEUR
(conducteur)
CAPTEUR
(compteur de vitesse)
ENTREE
consigne SORTIE
vitesse
erreur commande
Fig. 1 – Structure d’un système asservi : rétroaction (boucle fermée) et correction.
ii
rétroaction. C’est grâce à ce processus que l’on se maintient à la vertical. Un dérèglement des
capteurs (ouie, vue, voûte plantaire...) peut ainsi entraîner une perte d’équilibre car la commande
pour le maintien à la vertical sera réalisée avec des données erronées.
De nombreux systèmes technologiques sont dotés de systèmes de commande, parfois très
élémentaires ou bien plus avancés. La généralisation de l’automatisation et la multiplicité des
systèmes à commander pose cependant des difficultés. Premièrement, se pose la question de la
conception. La synthèse d’un correcteur nécessite de modéliser corerctement, dans une étape
préliminaire, le système à commander. Dans le cas des systèmes complexes, cette modélisation
s’accompagne de simplifications plus ou moins importantes nécessaires pour la résolution du
problème. De ce fait, la commande est réalisée sur un prototype plus ou moins proche de la réalité.
Il faut donc s’assurer que le correcteur fonctionne pour le prototype mais également pour tout
système proche du prototype. Deuxièmement, la complexité croissante des systèmes à commander
s’accompagne d’une complexité croissante des systèmes de commande. Sur ce point la technologie
numérique est de grand secours puisqu’elle offre, outre des moyens de calcul considérables, la
possibilité de simuler avant d’implémenter sur le système physique, et tout ceci pour des coûts
très bas. En comparaison avec les systèmes de commande analogiques, la synthèse d’un correcteur
numérique est facilitée et les systèmes conçus vont pouvoir devenir plus performants du fait de
la possibilité de faire communiquer aisément différents systèmes numériques, de pouvoir intégrer
des systèmes de commande hiérarchiques, déterministes ou stochastiques...
La structure d’un système asservi est, dans le cas d’une commande numérique, tout à fait
identique à celle présentée en figure 1. Le capteur a à charge de transformer des données physiques
en données numériques. Pour différentes raisons, toutes les données physiques ne sont pas
forcément accessibles à la mesure. Dans ce cas, on devra estimer ces grandeurs. En automatique,
on parle d’observation.
Le correcteur est le cerveau du système. En commande numérique, c’est un programme
informatique exécuté par un ordinateur ou par tout autre système d’électronique numérique.
Un actionneur va ensuite traduite la commande numérique en action physique sur le système.
Tout système linéaire et invariant dans le temps est décrit par une équation de convolution
ou encore par une fonction transfert, transformée de Laplace de son noyau de convolution, encore
appelée réponse impulsionnelle. La transformation de Laplace est un outil privilégié en automatique
car elle permet de caractériser à la fois le régime statique du système (le système une fois la
convergence obtenue) et son régime transitoire (l’instant suivant immédiatement la commande).
Toute la théorie de la commande analogique émane d’une exploitation des propriétés dans le
domaine des pseudo-fréquences du système. L’analyse du diagramme de Bode permet en effet
une mesure de quantités de paramètres intervenant dans le problème de la commande : étude
de la stabilité du système (le système converge-t-il ?), calcul du temps de réponse du système
(combien de temps le système asservi met-il à atteindre la consigne ?), mesure du dépacement (la
sortie reste-t-elle consignée dans un domaine de valeurs admissible par rapport à la consigne ?)
Si l’on opère avec un calculateur numérique, l’analyse temporelle se révèle plus naturelle :
on peut aisément discrétiser les équations différentielles, résoudre des équations algébriques...
L’objectif de ce cours est double. Premièrement, donner les bases de la représentation des systèmes
sous leur forme temporelle. C’est ce qu’on appelle la représentation d’état d’un système.
Deuxièmement, montrer les relations qui existent entre les représentations d’état et celles par
fonction de transfert. Troisièmement, donner les bases de la commande dans l’espace d’état et
iii
enfin indiquer comment les correcteurs ainsi synthétisés s’expriment dans la représentation de
Laplace (c’est-à-dire quelle est leur fonction de transfert).
On se restreint, dans le cadre de ce cours destiné aux étudiants en première année de master
en sciences de l’ingénieur, au cas des systèmes linéaires et stationnaires. Un des points forts des
représentations d’état est leur adaptabilité au cas des systèmes non-linéaires, non stationnaires
qu’ils soient continus ou discrets. Ces thèmes sont généralement abordés en deuxième année de
Master.
iv Avant-propos
v
Sommaire
Avant-propos i
Sommaire iv
1 Introduction aux représentations d’état 1
1.1 La notion d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Les équations d’etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 L’équation de transition d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Résolution de l’équation de transition d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Calcul de la matrice de transition d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état 7
2.1 Equations d’état et fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Formes standard de représentations d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 La forme compagne pour la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 La forme modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3 La forme cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Intérêts des représentations d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Passage d’une représentation d’état à une autre . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Commande dans l’espace d’état 13
3.1 Principe de la commande par retour d’état linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 La commande modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 But et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2 Commandabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.3 Calcul de la commande dans le cas d’un système sous forme compagne
pour la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.4 Calcul de la commande dans le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Asservissement des sorties sur une valeur constante non nulle . . . . . . . . . . . 17
3.3.1 Solution directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.2 Commande intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Mise en oeuvre de la commande dans l’espace d’état . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.1 Commande partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.2 Choix des valeurs propres du système bouclé . . . . . . . . . . . . . . . . 21
vi Sommaire
4 Synthèse d’observateur 23
4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Observabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.2 Notion de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Reconstruction de l’état d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3.1 Synthèse d’observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3.2 Observateur identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3.3 Synthèse des observateurs identité par approche modale . . . . . . . . . . 27
4.4 Mise en évidence du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Bilan sur la commande par retour d’état avec synthèse d’observateur 31
5.1 Structure de la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Comportement dynamique du système bouclé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Travaux dirigés 35
6.1 Travaux dirigés no1 : rappels de calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2 Travaux dirigés no2 : représentation d’état d’un système . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2.1 Ecriture à partir des équations d’évolution du système . . . . . . . . . . . 36
6.2.2 Ecriture à partir des fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3 Travaux dirigés no3 : commande par retour d’état et placement de pôles . . . . . 37
6.3.1 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3.2 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4 Travaux dirigés no4 - TP no3 : exemple du pendule inversé (stabilisation, synthèse
d’observateur) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.5 Travaux dirigés no5 : exemple des cuves en cascade (commande des systèmes
perturbés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.6 Travaux dirigés no6 : analyse et commande d’un système discret . . . . . . . . . . 41
7 Travaux pratiques 43
8 Annales d’examens 59
Bibliographie 75
1
Chapitre 1
Introduction aux représentations d’état
L’idée de base des représentations d’état est que le futur d’un système dépend de son passé,
de son présent et de ses entrées : le futur peut alors être décrit à partir d’un ensemble de variables
bien choisies. Contrairement à l’analyse classique des systèmes qui fait appel à la représentation
de Laplace, dans le cas des représentations d’état, l’analyse a lieu dans le domaine temporel. De
fait, au cadre de l’analyse des fonctions de la variable complexe se substitue le cadre de l’algèbre
matricielle.
Pour illustrer notre propos, considérons l’exemple de la figure 1.1 décrit par les équations
différentielles suivantes
8<
:
e(t) = (R1 + R2)i(t) + Ldi
dt + v(t)
i(t) = C dv
dt
s(t) = R2i(t) + v(t)
(1.1)
e(t)

R
1

R
2

L

C

i(t)

v(t)

s(t)

Fig. 1.1 – Exemple d’un système électronique
2 1. Introduction aux représentations d’état
1.1 La notion d’état
On définit l’état d’un système à l’instant t0 comme l’information sur le passé nécessaire et
suffisante pour déterminer l’évolution ultérieure du système quand on connaît, pour t > t0, les
signaux d’entrée et les équations du système.
Dans le cas de l’exemple 1.1, l’information nécessaire et suffisante pour résoudre le système
d’équations 1.1 est liée aux conditions intiales : i(t0) et v(t0). Par conséquent, un ensemble
possible de variables d’état est : [i(t), v(t)]
On remarque que les variables d’état constituent les supports des "souvenirs" du système.
Plus généralement, les variables d’état dans les systèmes physiques sont les éléments aptes à
emmagasiner de l’énergie sous forme cinétique ou potentielle : inductances, capacités, masses,
ressorts... Ce sont les éléments ayant une capacité de "mémoire".
Définition Un vecteur d’état est un ensemble minimal de variables d’état, c’est-à-dire de
grandeurs temporelles, nécessaires et suffisantes pour déterminer l’évolution future d’un système
quant on connaît les équations qui décrivent le fonctionnement du système et les entrées de ce
système.
Dans ce qui suit, un vecteur d’état sera noté :
x =
2
66664
x1
x2
...
...
xn
3
77775
Le nombre n de composantes correspond au degré de complexité du système. Il définit l’ordre
du système.
Remarques
– Le vecteur d’état n’est pas unique : il y a même une infinité de choix possibles (sur notre
exemple, [i(t), di
dt ]t est un autre vecteur d’état possible). On passe d’un vecteur d’état à un
autre par simple changement de base.
– Les variables d’état sont généralement choisies pour leur signification physique et/ou leur
simplicité dans les équations d’évolution qui leur sont associées.
1.2. Les équations d’etat 3
1.2 Les équations d’etat
Reprenons notre exemple de la figure 1.1, le système d’équations 1.1 peut s’écrire sous la
forme matricielle suivante :
8<
:
dx
dt =
· −(R1+R2)
L
1
L
1
C 0
¸
x +
· 1
L0
¸
e
s(t) =
£
R2 1
¤
x
Avec x =
£
i(t) v(t)
¤t.
D’une manière générale, à tout système linéaire, causal et continu peuvent être associées les
équations matricielles suivantes :
½ dx
dt = A(t)x(t) + B(t)e(t) Equation d’état
s(t) = C(t)x + D(t)e(t) Equation de sortie
Dans le cas d’un système stationnaire, les matrices A,B,C et D sont indépendantes du temps.
Ce cas seul sera examiné par la suite.
– A est appelée matrice d’état du système.
– x est appelée vecteur d’état du système.
– e est appelée vecteur d’entrée du système.
– s est appelée vecteur de sortie du système.
Remarque Dans le cas d’un système discret, ces équations prennent la forme suivante :
½
x(k + 1) = Ax(k) + Be(k) Equation d’état
s(k) = Cx(k) + De(k) Equation de sortie
1.3 L’équation de transition d’état
1.3.1 Résolution de l’équation de transition d’état
Nous cherchons à résoudre l’équation d’état précédemment introduite et qui s’écrit dans le
cas général :
dx
dt
= Ax(t) + Be(t)
Le cas des équations différentielles matricielles se traite de manière similaire au cas scalaire.
L’équation homogène associée s’écrit :
dx
dt
= Ax(t)
4 1. Introduction aux représentations d’état
Sa solution est exponentielle et vaut :
x(t) = eA(t−t0)x(t0)
où t = t0 est l’instant initial.
La résolution avec second membre s’effectue comme dans le cas scalaire (attention, en algèbre
matricielle, la multiplication n’est pas commutative) :
dx
dt = Ax(t) + Be(t)
e−At dx
dt = e−AtAx(t) + e−AtBe(t) = Ae−Atx(t) + e−AtBe(t)
e−At dx
dt − Ae−Atx(t) = e−AtBe(t)
d
dt (e−Atx) = e−AtBe(t)
e−Atx(t) = e−At0x(t0) +
R t
t0
e−AuBe(u)du
x(t) = eA(t−t0)x(t0) +
R t
t0
eA(t−u)Be(u)du
x(t) = eA(t−t0)x(t0) +
R t
t0
eA(t−u)Be(u)du
Etat à l’instant t Solution du régime libre (e=0) Contribution des entrées (convolution)
La stabilité de l’état est donc conditionnée par celle de la matrice eAt appelée matrice
de transition d’état. On montre que eAt converge si et seulement si les valeurs propres de
la matrice A sont à partie réelle strictement négative. En examinant le lien entre les matrices
[A,B,C,D] et la fonction de transfert du système, on retrouvera ce résultat et on insistera sur
le rôle joué par les valeurs propres de la matrice d’état A.
Sur le plan numérique, le problème réside dans le calcul de la matrice de transition d’état
eAt.
1.3.2 Calcul de la matrice de transition d’état
Par définition, la matrice de transition d’état s’écrit :
'(t) = eAt = I + At + A2
2! t2 + ... + An
n! tn + ... =
X+1
0
An
n! tn
A priori, son calcul fait intervenir un nombre infini de termes : le calcul de toutes les puissances
de A. En fait, nous allons voir que cela n’est pas nécessaire.
Calcul par le théorème de Cayley-Hamilton Il est possible de calculer l’exponentiel matriciel
à partir d’un nombre fini d’opérations, en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton. Ce
théorème exprime que toute matrice carrée A est solution de son équation caractéristique. On
1.3. L’équation de transition d’état 5
note QA(p) le polynôme caractéristique de A : QA(p) = det(pI −A). Si A est une matrice carrée
de taille n, QA(p) est un polynôme de degré n.
QA(p) = det(pI − A) = pn + an−1pn−1 + ... + a1p + a0
Le théorème de Cayley-Hamilton assure que A vérifie :
An + an−1An−1 + ... + a1A + a0I = 0
En d’autres termes, An s’exprime comme une combinaison linéaires de puissances inférieures
de A :
An = −an−1An−1 − ... − a1A − a0I
Par conséquent, il est possible d’exprimer
P+1
0
An
n! tn = eAt = '(t) en ne faisant intervenir
que des puissances de A inférieures strictement à n, c’est-à-dire, qu’il existe un jeu de coefficients
(®0, ®1...®n−1) tels que :
'(t) = eAt = ®n−1(t)An−1 + ... + ®1(t)A + ®0(t)I (1.2)
Dans le cas où les valeurs propres sont distinctes deux à deux, pour calculer les coefficients
®0, ®1...®n−1, il suffit de considérer une base de vecteurs propres (x0, x1...xn−1) de A. On note
(¸0, ¸1...¸n−1) ses valeurs propres et on réécrit simplement l’égalité (1.2) appliquée à chaque
vecteur propre de A :
eAtxk = ®n−1(t)An−1xk + ... + ®1(t)Axk + ®0(t)Ixk
= ®n−1(t)¸n−1
k xk + ... + ®1(t)¸kxk + ®0(t)xk
D’autre part xk est non nul et
eAtxk =
X+1
0
An
n! tnxk =
X+1
0
¸nk
n! tnxk = e¸ktxk
Il vient :
e¸kt = ®n−1(t)¸n−1
k + ... + ®1(t)¸k + ®0(t)
et ceci vaut pour toute la base de vecteurs propres. On aboutit donc au système de n équations
à n inconnues suivant :
8>><
>>:
e¸0t = ®n−1(t)¸n−1
0 + ... + ®1(t)¸0 + ®0(t)
e¸1t = ®n−1(t)¸n−1
1 + ... + ®1(t)¸1 + ®0(t)
...
e¸n−1t = ®n−1(t)¸n−1
n−1 + ... + ®1(t)¸n−1 + ®0(t)
(1.3)
6 1. Introduction aux représentations d’état
Calcul par la Transformée de Laplace Une autre méthode de calcul de la matrice de
transition d’état consiste à utiliser les propriétés de la transformée de Laplace :
si eAt = [ºij(t)]1·i,j·n
alors TL(eAt) = (pI − A)−1 = [TL(ºij(t))]1·i,j·n
La méthode consiste donc à calculer la matrice (pI − A)−1 puis à prendre la transformée de
Laplace inverse de chacun des termes de la matrice obtenue.
7
Chapitre 2
Représentation et analyse des systèmes
dans l’espace d’état
Les systèmes linéaires et stationnaires sont généralement décrits par leur fonction de transfert
(transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle). Pour être à même de transposer les
propriétés utilisées dans le domaine de Laplace au cas des représentations d’état, il est nécessaire
d’établir le passage d’une représentation à l’autre.
2.1 Equations d’état et fonctions de transfert
On considère un système (S) décrit par sa représentation d’état :
½ dx
dt = Ax(t) + Be(t)
s(t) = Cx(t) + De(t)
On se restreint au cas d’un système à une entrée et une sortie. Exprimons la fonction de transfert
H(p) du système en fonction des matrices A,B,C et D.
H(p) = S(p)
E(p)
En prenant les T.L. des équations d’état et de sortie, on obtient :
½
pX(p) = AX(p) + BE(p)
S(p) = CX(p) + DE(p)
en supposant les conditions initiales nulles.
Soir encore :
½
X(p) = (pI − A)−1BE(p)
S(p) = C[(pI − A)−1B]E(p) + DE(p) = [C(pI − A)−1B + D]E(p)
8 2. Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Finalement :
H(p) = C(pI − A)−1B + D (2.1)
En substituant à l’inverse sa définition, il vient :
H(p) = C[cof(pI − A)]tB + DQA(p)
QA(p)
(2.2)
où QA(p) = det(pI − A).
Les pôles de la fonction de transfert correspondent aux zéros de det(pI − A) qui est aussi le
polynôme caractéristique de la matrice d’état A. Par conséquent, les pôles de H(p) sont les
valeurs propres de la matrice d’état A.
Remarque : Dans le cas d’un systèmes à plusieurs entrées et/ou plusieurs sorties, on définit
de manière analogue une matrice de transfert.
2.2 Formes standard de représentations d’état
Considérant un système d’écrit par sa fonction de transfert, il est possible de construire
très simplement des représentations d’état de ce système en le décomposant en sous-systèmes
élémentaires : des systèmes d’ordre 1 mis en série ou en parallèle.
On considère le système de fonction de transfert :
H(p) = N(p)
D(p)
= bmpm + bm−1pm−1 + ... + b1p1 + b0p
pn + an−1pn−1 + ... + a1p1 + a0p
Dans tous les cas, il est plus simple de raisonner dans un premier temps sur le système sans
numérateur :
H1(p) =
1
D(p)
=
1
pn + an−1pn−1 + ... + a1p1 + a0p
avec
H(p) = N(p) × H1(p) ; H(p) = S(p)
E(p) et H1(p) = S1(p)
E(p)
2.2.1 La forme compagne pour la commande
Le système est vu comme une mise en série d’intégrateurs purs. A partir de l’expression de
la fonction de transfert H(p), on retrouve aisément l’équation différentielle associée au système :
s(n)
1 (t) + an−1s(n−1)
1 (t) + ... + a1s(1)
1 (t) + a0s1(t) = e(t)
2.2. Formes standard de représentations d’état 9
et
s(t) = bms(m)
1 (t) + bm−1s(m−1)
1 (t) + ... + b1s(1)
1 (t) + b0s1(t)
Il suit la représentation schématique de la figure 2.1. On choisit comme variables d’état les sorties
des systèmes élémentaires, c’est-à-dire les dérivées successives de la sortie. La représentation
e(t)
 ...
 s
1
 s1
(
 t) s1 (
 t) s1 (
 t)
 (t)

(n)
 (n-1) (n-2) (n-3)
s
1
(t)

...

+

+

+

-a
n-1

-a
n-2

-a
0

b
0

b
1

b
m
 ...

s(t)

s
1
(t)
 (m)

s
1
(t)
 (1)

Fig. 2.1 – Interprétation d’un système complexe sous la forme d’une mise en série d’intégrateurs
purs
d’état obtenue est dite sous forme compagne pour la commande ; elle s’écrit (si m < n) :
8>>>>>>>><
>>>>>>>>:
dx
dt =
2
66664
0 1 ... 0 0
... ... ... ... ...
0 0 ... 1 0
0 0 ... 0 1
−a0 −a1 ... −an−2 −an−1
3
77775
x +
2
66664
0
...
0
0
1
3
77775
e
s(t) =
£
b0 b1 b2 b3 ...
¤
x
avec x =
2
6664
s1
s(1)
1
...
s(n−1)
1
3
7775
(2.3)
Remarques
– Si m ¸ n alors D 6= 0.
– Toute l’information relative au dénominateur de la fonction de transfert est mémorisée
dans la matrice d’état A.
– Toute l’information relative au numérateur de la fonction de transfert est mémorisée dans
les matrices C et D.
2.2.2 La forme modale
Le système est vu comme une mise en parallèle de systèmes d’ordre 1. Pour mettre en évidence
cette représentation, il suffit de décomposer la fonction de transfert H(p) en éléments simples.
10 2. Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
Dans le cas où tous les pôles sont simples et le système d’ordre n, H(p) prend la forme :
H(p) = ®0
p + ¸0
+ ®1
p + ¸1
+ ... + ®n−1
p + ¸n−1
Il suit la représentation schématique de la figure 2.2. On choisit comme variables d’état les
sorties des systèmes élémentaires. La représentation d’état obtenue est dite sous forme modale ;
E(p)
 S(p)

1

p+
l
0

1

p+
l
1

1

p+
l
n-1

a
0

a
1

a
n-1

+

x
0

x
1

x
n-1

Fig. 2.2 – Interprétation d’un système complexe sous la forme d’une mise en parallèle de systèmes
d’ordre 1
elle s’écrit :
8>>>>>>>><
>>>>>>>>:
dx
dt =
2
66664
−¸0 0 ... 0 0
0 −¸1 ... 0 0
... ... ... ... ...
0 0 ... −¸n−2 0
0 0 ... 0 −¸n−1
3
77775
x +
2
66664
1
1
...
1
1
3
77775
e
s(t) =
£
®0 ®1 ®2 ®3 ...
¤
x
avec x =
2
664
x0
x1
...
xn−1
3
775
(2.4)
Remarques
– A est diagonale ; les éléments diagonaux correspondent aux pôles du système.
– Si le système a des pôles multiples, A est diagonale par blocs (un exemple sera donné en
TD)
– La présence d’un numérateur modifie les pondérations dans la décomposition en éléments
simples ; seules les matrices C et D sont affectées.
Attention ! Nous avons utilisé ici et dans le cas précédent les mêmes notations pour le vecteur
d’état (noté x) mais ces vecteurs diffèrent d’une représentation à l’autre. Les deux représentations
(modale et compagne pour la commande) représentent le même système dans son intégralité
(c’est-à-die sans perte). Par conséquent, elles sont isomorphes. On passe de l’une à l’autre par
2.2. Formes standard de représentations d’état 11
une transformation bijective (qui n’ajoute rien et n’enlève rien). En d’autres termes, on peut
trouver une matrice P inversible (c’est une matrice de changement de base) permettant de
passer d’une représentation à l’autre. Nous reviendrons sur ce point au paragraphe 2.3.
2.2.3 La forme cascade
Le système est vu comme une mise en série de systèmes d’ordre 1. Pour mettre en évidence
cette représentation, il suffit de factoriser le dénominateur de la fonction de transfert H(p). Dans
le cas d’un numérateur unitaire, on obtient :
H(p) =
1
(p + ¸0)(p + ¸1) ... (p + ¸n−1)
Il vient alors la représentation schématique de la figure 2.3. On choisit comme variables d’état les
sorties des systèmes élémentaires. La représentation d’état obtenue est dite sous forme cascade.
E(p)
 1
 S(p)

p+
l
0

1

p+
l
1

1

p+
l
n-1

xn
 -1
 xn
 -2
 x0
 
 ...

Fig. 2.3 – Interprétation d’un système complexe sous la forme d’une mise en série de systèmes
d’ordre 1
Dans le cas d’un numérateur unitaire, elle s’écrit :
8>>>>>>>><
>>>>>>>>:
dx
dt =
2
66664
−¸n−1 1 ... 0 0
0 −¸n−2 1 ... 0
... ... ... ... ...
0 0 ... −¸1 1
0 0 ... 0 −¸0
3
77775
x +
2
66664
0
0
...
0
1
3
77775
e
s(t) =
£
1 0 0 0 ...
¤
x
avec x =
2
664
x0
x1
...
xn−1
3
775
(2.5)
Remarques
– Si le numérateur n’est pas constant, on perd la forme cascade.
– Le traitement des pôles multiples ne pose aucune difficulté. La matrice d’état garde une
forme similaire.
12 2. Représentation et analyse des systèmes dans l’espace d’état
2.3 Conclusion
2.3.1 Intérêts des représentations d’état
La fonction de transfert est une relation entrée/sortie qui n’apporte aucune connaissance
sur la structure interne d’un système. Deux systèmes différents peuvent très bien avoir la même
fonction de transfert. A contrario, la représentation d’état contient des informations accessibles
à la mesure et directement liées aux grandeurs physiques des systèmes. Elle offre de ce fait des
possibilités nouvelles en termes d’analyse et de commande des systèmes.
Un même système complexe pouvant être décomposé de différentes manières, la représentation
d’état n’est pas unique. Bien au contraire, pour un système donné, il en existe une infinité.
Il a été dit que le dénominateur de la fonction de transfert correspond au polynôme caractéristique
de la matrice d’état :
Den[H(p)] = det(pI − A) = QA(p)
Par conséquent, les pôles du système sont les valeurs propres de la matrice d’état.
2.3.2 Passage d’une représentation d’état à une autre
On considère deux représentations d’état d’un même système :
½ dx
dt = Ax(t) + Be(t)
s(t) = Cx(t) + De(t)
et ½ dr
dt = A0r(t) + B0e(t)
s(t) = C0r(t) + D0e(t)
Le vecteur d’état est un ensemble minimal de variables d’état, il engendre un espace, appelé espace
d’état de dimension exactement égal au nombre de variables d’état. Changer de vecteur d’état,
c’est simplement changer de base de représentation. Il existe donc une matrice de changement
de base P telle que :
r = Px
et : ½
P dx
dt = A0Px(t) + B0e(t)
s(t) = C0Px(t) + D0e(t)
soit encore : ½ dx
dt = P−1A0Px(t) + P−1B0e(t)
s(t) = C0Px(t) + D0e(t)
Les deux représentations d’état (A,B,C,D) et (A0,B0,C0,D0) satisfont donc :
A = P−1A0P , B = P−1B0 , C = C0P , D = D0
13
Chapitre 3
Commande dans l’espace d’état
3.1 Principe de la commande par retour d’état linéaire
Le principe est de déterminer une commande telle que les pôles du système de la fonction
de transfert du système bouclé soient convenablement placés dans le plan complexe et satisfasse
des spécifications d’amortissement, de rapidité...
Les pôles de la fonction de transfert étant les valeurs propres de la matrice d’état, le but est
donc de réaliser un asservissement modifiant convenablement la matrice d’état du système.
e(t)
 [A,B,C,D]
 s(t)

Fig. 3.1 – Système en boucle ouverte
Soit un système décrit par l’équation d’état suivant :
½ dx
dt = Ax(t) + Be(t)
s(t) = Cx(t) + De(t)
Dans le cadre de ce cours, on se restreint à la commande linéaire construite par rétro-action
linéaire de l’état du système sur l’entrée :
u(t) = e(t) − Lx(t)
Les équations du système en boucle fermé sont :
8<
:
dx
dt = Ax(t) + Bu(t)
u(t) = e(t) − Lx(t)
s(t) = Cx(t) + De(t)
Le schéma de l’asservissement est donné figure 3.2.
14 3. Commande dans l’espace d’état
e(t)
 [A,B,C,D]

-L

s(t)

u(t)

x

Fig. 3.2 – Commande par retour d’état linéaire
L’équation d’état du système en boucle fermé s’écrit :
dx
dt
= Ax(t) + B[e(t) − Lx(t)] = [A − BL]x(t) + Be(t)
Par conséquent, la matrice d’état du système en boucle fermé vaut : (A − BL).
La dynamique du système bouclé est donc fixée par les valeurs propres de la matrice (ABL)
; ces valeurs propres sont les racines de l’équation caractéristique : det(pI − (A − BL)) =
QA−BL(p) = 0.
3.2 La commande modale
Elle est réalisable soit dans l’espace d’état, soit sous forme algébrique à partir des fonctions
de transfert.
3.2.1 But et définition
On appelle commande modale la commande qui consiste à déterminer une matrice de retour
d’état L telle que les valeurs propres de la matrice (A − BL) soient placées en des positions
préfixées (¸0, ¸1...¸n−1) (valeurs complexes). L’existence d’une solution est étudiée à travers la
notion de commandabilité.
3.2.2 Commandabilité
Un système est commandable si et seulement si, pour toute contrainte modale (¸0, ¸1...¸n−1),
il existe un retour d’état linéaire L satisfaisant. On montre que, dans le cas d’un système monovariable
(une entrée, une sortie), si le retour d’état L existe, il est unique.
Il est souvent intéressant de s’assurer de la commandabilité d’un système avant de cherche
à mettre en oeuvre la commande proprement dite. En d’autres termes, on demande de disposer
d’une condition nécessaire et suffisante de commandabilité.
Considérons un système représenté par un vecteur d’état x, et une équation d’évolution de
3.2. La commande modale 15
l’état : dx
dt = Ax(t)+Be(t). La question que l’on se pose est la suivante : peut-on déterminer une
commande admissible transférant le système d’un état donné vers un autre ? En d’autres termes,
ils s’agit ici de trouver une commande e telle que le système passe d’un état initial x(0) à un
état final x(t).
Nous avons vu que l’évolution de l’état est décrite par :
x(t) = eAt[x(0) +
Z t
0
e−A¿Be(¿ )d¿]
Donc :
e−Atx(t) − x(0) =
Z t
0
e−A¿Be(¿ )d¿
D’après le théorème de Cayley-Hamilton, pour un système d’ordre n, e−A¿ ne fait intervenir
que les (n − 1) premières puissances de A :
e−A¿ = º0(t)I + º1(t)A + º2(t)A2 + ... + ºn−1(t)An−1
d’où :
e−Atx(t) − x(0) =
nX−1
k=0
AkB
Z t
t0
ºk(¿ )e(¿ )d¿
A et B étant fixés, le système est commandable si on peut trouver e(¿ ) telle que la relation soit
vraie quelque soit les états initiaux et finaux x(0) et x(t), c’est-à-dire si aucun des termes AkB
n’est lié à un autre, ce qui s’écrit :
Comm = [An−1B , An−2B , ... , AB , B] de rang n
Comm est appelée matrice de commandabilité. Un système est commandable si rang(Comm) =
n. On définit plus généralement le degré de commandabilité d’un système comme le rang de la
matrice de commandabilité. Si rang(Comm) < n, alors le système est partiellement commandable.
Nous verrons sur un exemple que l’idée, dans le cas d’un système partiellement commandable,
consiste à rendre la partie non commandable su système inopérante afin de le contrôler
entièrement via sa partie commandable (voir section 6.5).
Exemple On considère le système suivant :
8<
:
dx
dt =
·
0 1
−2 −3
¸
x(t) +
·
1
−2
¸
e(t)
s(t) =
£
1 0
¤
x(t)
On montre que AB = −2B, donc rang([AB , B])=1 et le système n’est pas commandable.
16 3. Commande dans l’espace d’état
3.2.3 Calcul de la commande dans le cas d’un système sous forme compagne
pour la commande
Sous la forme compagne pour la commande, les matrices A et B ont des formes très particulières
:
A =
2
664
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ... ... ... ...
−a0 −a1 −a2 ... −an−1
3
775
B =
2
664
0
0
...
1
3
775
On cherche une matrice L de retour d’état :
L =
£
l0 l1 l2 ... ln−1
¤
telle que la matrice
A − BL =
2
664
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ... ... ... ...
−a0 − l0 −a1 − l1 −a2 − l2 ... −an−1 − ln−1
3
775
ait comme valeurs propres (¸0, ¸1...¸n−1).
La contrainte modale impose le dénominateur de la fonction de transfert du système en boucle
fermé :
den(HBF (p)) = (p − ¸0)(p − ¸1)...(p − ¸n−1) = pn + a0
n−1pn−1 + ... + a0
1p + a0
0
Le placement de pôles de modifie pas le type de représentation (elle reste une forme compagne
pour la commande). Par conséquent, on obtient deux écritures différentes pour la matrice d’état
du système en boucle fermée (A − BL) :
A−BL =
2
664
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ... ... ... ...
−a0 − l0 −a1 − l1 −a2 − l2 ... −an−1 − ln−1
3
775
=
2
664
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ... ... ... ...
−a0
0 −a0
1 −a0
2 ... −a0
n−1
3
775
d’où le système de n équations à n inconnues suivant :
8>><
>>:
a0 + l0 = a0
0
a1 + l1 = a0
1
...
an−1 + ln−1 = a0
n−1
qui permet de déduire très simplement le retour d’état L =
£
l0 l1 l2 ... ln−1
¤
.
3.3. Asservissement des sorties sur une valeur constante non nulle 17
3.2.4 Calcul de la commande dans le cas général
Dans le cas général, le retour d’état peut modifier notablement la forme de la matrice d’état
et le calcul n’est pas aussi simple que dans le cas de la forme compagne pour la commande. Les
étapes du calcul de la commande sont alors les suivantes :
1. Calcul de la matrice (A − BL)
2. Calcul du polynôme caractéristique de (A − BL). Il vaut det(pI − (A − BL)).
3. Identification du polynôme caractéristique de (A−BL) avec le dénominateur de la fonction
de transfert de la boucle fermée : det(pI − (A − BL)) = (p − ¸0)(p − ¸1)...(p − ¸n−1), où
(¸0, ¸1, ..., ¸n−1) sont les pôles que l’on veut imposer.
Par rapport au cas de la forme compagne pour la commande, il a été ajouté une étape de
calcul du polynôme caractéristique de la matrice d’état du système bouclé det(pI − (A − BL)).
Une autre solution consiste à effectuer un changement de base pour se ramener au cas d’une
forme compagne pour la commande. Un exemple d’un tel calcul sera effectué lors d’une séance
de travaux dirigés (voir commande du pendule inversé).
3.3 Asservissement des sorties sur une valeur constante non nulle
3.3.1 Solution directe
Dans le cas où le système ne subit aucune perturbation extérieure, l’objectif de la commande
est d’amener le système (et notamment ses sorties) à un nouveau point d’équilibre.
Le placement de pôle permet de satisfaire les contraintes dynamiques imposées au système.
Les contraintes statiques doivent être traitées séparément.
On considère ici une contrainte en échelon sur la sortie s(t) du système : on veut limt!+1 s(t) =
sc. Cherchons l’entrée e(t) = ecH(t) adéquate (H(t) désigne l’échelon d’Heaviside).
Les équations d’état et de sortie en régime statique s’écrivent :
½
0 = (A − BL)x + Be
s = Cx + De = sc
Eliminons x d’entre de ces deux équations :
½
x = −(A − BL)−1Be
sc = −[C(A − BL)−1B + D]ec
L’entrée e(t) à applique au système vaut donc :
e(t) = ecH(t) avec ec = −[C(A − BL)−1B + D]−1sc
18 3. Commande dans l’espace d’état
s
c
(t)
 A

-L

C
 s(t)

u(t)
 -[C(A-BL )-1
B]
 x

Consigne
 Optimise

le régime permanent

Optimise le régime transitoire

-1

Fig. 3.3 – Structure de l’asservissement
Problème : on remarque ici que l’entrée du système ne coincide pas avec la consigne sur la
sortie. La commande intégrale qui suit propose une autre approche résolvant ce problème.
3.3.2 Commande intégrale
En commande analogique classique, l’annulation de l’erreur statique en réponse à un échelon
s’effectue via un correcteur intégral. Il est possible de mettre en oeuvre une correction similaire
dans l’espace d’état en considérant la consigne en sortie comme une perturbation et en effectuant
une commande intégrale.
La commande intégrale est plus généralement utilisée dans le cas où des perturbations affectent
l’évolution du système ; elle permet en effet de limiter l’influence de ces perturbations sur
la sortie.
On considère toujours une contrainte en échelon sur la sortie s(t) du système : on veut
limt!+1 s(t) = sc. Cette consigne est considérée comme une perturbation sur la sortie du système
(cf. figure 3.4).
A

-L

C

e(t)
 u(t)
 x
 s(t)

s
c
(t)

+

+
 +

-
 .
 z(t)

Fig. 3.4 – Annulation de l’erreur statique par une commande intégrale : la consigne en sortie est
vue comme une perturbation.
3.3. Asservissement des sorties sur une valeur constante non nulle 19
On note dz
dt = s(t) − sc(t). On veut donc dz
dt = 0 en régime statique, c’est-à-dire quand
t = +1.
Considérons l’état augmenté
·
x
z
¸
. Les équations d’état du système augmenté s’écrivent :
8>><
>>:
· dx
dt
dz
dt
¸
=
·
A 0
C 0
¸ ·
x
z
¸
+
·
B
0
¸
u +
·
0
−sc
¸
=
·
A 0
C 0
¸ ·
x
z
¸
+
·
B 0
0 −1
¸ ·
u
sc
¸
s = [ C 0 ]
·
x
z
¸
Ecrivons maintenant ces équations en régime statique :
8>><
>>:
0 =
·
A 0
C 0
¸ ·
xs
zs
¸
+
·
B
0
¸
u +
·
0
−sc
¸
sc = [ C 0 ]
·
xs
zs
¸
On cherche une commande u = −
£
L1 L2
¤ ·
x
z
¸
+ e permettant d’annuler l’erreur statique
8e : 8
>><
>>:
0 =
·
A 0
C 0
¸ ·
xs
zs
¸

·
B
0
¸ £
L1 L2
¤ ·
xs
zs
¸
+
·
B
0
¸
e +
·
0
−sc
¸
sc = [ C 0 ]
·
xs
zs
¸
8>><
>>:
0 =
·
A − BL1 −BL2
C 0
¸ ·
xs
zs
¸
+
·
B
0
¸
e +
·
0
−sc
¸
sc = [ C 0 ]
·
xs
zs
¸
Pour · que le système augmenté tende vers un état d’équilibre, il faut et il suffit que la matrice
A − BL1 −BL2
C 0
¸
soit stable. Comme de plus, le raisonnement vaut pour toute entrée e, on
peut choisir e = 0. La structure de la commande intégrale est donc celle de la figure 3.5.
A

-L
1

C

e(t)
 u(t)
 x
 s(t)

s
c
(t)

+

+
 +

-
 z(t)

-L
2

Fig. 3.5 – Commande intégrale.
Remarque : Dans la pratique, la commande intégrale nécessite de déterminer le retour L2
sur l’état ajouté ce qui revient à placer un pôle suplémentaire du système en boucle fermé. Ce
20 3. Commande dans l’espace d’état
pôle est choisi de telle sorte qu’il n’affecte pas la dynamique du système principal, c’est-à-dire
que le sous-système relatif à la commande intégrale devra converger beaucoup plus rapidement
que le système principal. On choisira donc en conséquence la valeur du pôle à affecter à cette
partie de la commande. Cette mise en eouvre sera effectuée en séance de travaux pratiques sur
l’exemple du pendule inversé.
3.4 Mise en oeuvre de la commande dans l’espace d’état
3.4.1 Commande partielle
Considérons un système de rang q < n (q désigne son degré de commandabilité) mis sous la
forme canonique dx
dt = Ax + Bu.
On choisit comme vecteur d’état x un vecteur propre du système. Il est ainsi possible de
scinder ce vecteur en deux : la partie commandable (q variables d’état : x1) et la partie non
commandable ((n − q) variables d’état : x2). L’équation d’évolution d’état est de la forme :
dx
dt
=
·
A11 A12
0 A22
¸ ·
x1
x2
¸
+
·
B1
0
¸
u
Les modes du système sont les zéros du polynôme caractéristique de la matrice d’état ; il vaut :
det(pI − A) = det(pT − A11) × det(pT − A22)
Autrement dit, les valeurs propres de A sont les valeurs propres de A11 et les valeurs propres de
A22.
La commande modale s’écrit u = −Lx + e = −
£
L1 L2
¤ ·
x1
x2
¸
+ e.
Et l’équation d’évolution de l’état du système commandé s’écrit :
dx
dt
=
·
A11 − B1L1 A12 − B1L2
0 A22
¸ ·
x1
x2
¸
+
·
B1
0
¸
e
On note que l’évolution de la partie non commandable reste libre (indépendante de la commande
modale L), en effet : dx2
dt = A22x2.
En conclusion :
– Lorsqu’un système a une partie non commandable, les seuls modes modifiables sont ceux
de la partie commandable (ceux de A11).
– La partie L2 de la matrice de réjection (L) est déterminée autrement. D’autres critères
peuvent être pris en compte, comme par exemple, le fait de rendre la sortie indépendante
de la partie non commandable x2.
3.4. Mise en oeuvre de la commande dans l’espace d’état 21
3.4.2 Choix des valeurs propres du système bouclé
1. Pour que la commande soit physiquement réalisable, les valeurs propres choisies doivent
être réelles ou complexes conjuguées deux à deux (ce qui garantit une fonction de transfert
à coefficients réels).
2. La stabilité étant la première qualité à assurer pour la boucle fermée, les valeurs propres
doivent être à partie réelle strictement négative (en discret, à l’intérieur du cercle unité).
3. On peut transposer le choix dans le domaine fréquentiel : on impose une bande passante
désirée !0 au système bouclé. Ensuite, plusieurs choix sont possibles :
– Toutes les propres sont choisies égales à −!0.
– On identifie le polynôme caractéristique de A−BL à un polynôme de Butterworth : les n
valeurs propres ¸ sont choisies sur le cercle de rayon !0 et vérifient :
³
¸
!0
´2n
= (−1)n+1.
22 3. Commande dans l’espace d’état
23
Chapitre 4
Synthèse d’observateur
4.1 Principe
Il arrive souvent que toutes les variables d’état d’un système ne soient pas accessibles à la
mesure. Dans ce cas, l’implémentation directe de la commande u = −Lx est impossible. De plus,
la connaissance de la sortie y ne résoud pas le problème. En effet, comme C n’est pas inversible
la connaissance de y = Cx ne permet pas de connaître x.
L’idée est donc de reconstruire l’état x à partir des informations disponibles, c’est-à-dire la
sortie y et la commande u. On utilise pour cela un système dynamique permettant d’approximer
x : un observateur. On parle également de reconstructeur, d’estimateur, de filtre...
Il y a deux environnements possibles : le cas déterministe et le cas stochastique qui permet
de prendre en compte les bruits de mesure.
Calcul de la
 Système

commande

x

y

u

Fig. 4.1 – Structure de la commande dans le cas où l’état est mesurable
24 4. Synthèse d’observateur
Calcul de la
 Système

commande
 y

u

Observateur

état estimé

Fig. 4.2 – Reconstruction de l’état
4.2 Observabilité
4.2.1 Définition
On considère un système dont on connaît une représentation d’état ([A,B,C,D]). Ce système
est dit observable s’il est possible de déterminer son état à un instant t0 donné à partir d’une
observation de sa sortie. Le but est de déterminer dans un premier temps une condition nécessaire
et suffisante d’observabilité d’un système.
L’évolution de l’état du système est régi par une équation différentielle matricielle du type :
dx
dt
= Ax(t) + Be(t)
La sortie est donnée par :
s(t) = Cx(t) + De(t)
D’après la définition donnée ci-dessus de la notion d’observabilité, on peut se placer en régime
libre, c’est-à-dire à e = 0. Dans ce cas, l’état vaut x(t) = eAtx(0) et la sortie s(t) = CeAtx(0).
Par conséquent, connaître s c’est connaître x(0) à la condition (nécessaire et suffisante) que CeAt
soit non singulière.
Or, CeAt =
Pn−1
k=0 ®k(t)CAk et CeAt est non singulière si et seulement si :
obs = [ C CA CA2 ... CAn−1 ] est de rang n
Exemple : On considère le système décrit par :
8<
:
dx
dt =
·
0 1
−2 −3
¸ ·
1
−2
¸
e
s(t) =
£
1 0
¤
x
On trouve Obs =
·
1 0
0 1
¸
qui est de rang 2 donc le système est observable.
4.3. Reconstruction de l’état d’un système 25
4.2.2 Notion de dualité
Nous allons montrer ici que les notions d’observabilité et de commandabilité sont deux notions
duales. Pour ce faire, considérons les deux systèmes (S) et (S¤) définis par :
½ dx
dt = Ax(t) + Be(t)
s = Cx(t)
½ dx¤
dt = Atx¤(t) + Cte¤(t)
s¤ = Btx¤(t)
(S¤) est appelé système dual ou adjoint de (S).
On montre que (S) est commandable si et seulement si (S¤) est observable et que (S) est
observable si et seulement si (S¤) est commandable.
En effet, (S¤) est observable si et seulement si [ Bt BtAt Bt(At)2 ... Bt(At)n−1 ]t est
de rang n c’est-à-dire si et seulement si
2
664
An−1B
...
AB
B
3
775
, soit encore si et seulement si (S) est
commandable.
4.3 Reconstruction de l’état d’un système
4.3.1 Synthèse d’observateur
Définition On appelle observateur du système un opérateur qui génère une approximation ^
z
de la variable z = Tx sous la forme :
.^
z= F
^
z +ky + Ju
où u est la commande et y la sortie.
– Si z et x ont même dimension, l’observateur est dit complet (tout l’état est estimé). On
choisit T = I (z = x) et ^
z=^ x.
– Si dim(z) < dim(x) (par exemple : dim(z) = dim(x)−dim(y)), alors l’observateur est dit
d’ordre réduit.
Remarques :
1. Un observateur doit être stable.
2. Un observateur doit assurer la convergence de ^
z vers z (estimation sans biais).
26 4. Synthèse d’observateur
– Dans le cas déterministe, la convergence s’écrit :
lim
t!+1
[^
z (t) − z(t)] = 0 8u, 8x(t0)
– Dans le cas stochastique, on impose par exemple une convergence en valeur moyenne :
lim
t!+1
E[^
z (t) − z(t)] = 0 8u, 8x(t0)
On note ²(t) = z(t)−
^
z (t) l’erreur de reconstruction.
4.3.2 Observateur identité
L’observateur identité est un observateur sans biais (^
z (t) ! z si t ! +1) où z = x. Les
équations du couple (système, observateur) sont :
8><
>:
.^ x= F
^x
+Ky + Ju
. x= Ax +
Bu
y = Cx
Exprimons l’erreur d’estimation ² :

=.z −
.^
z=.x −
.^ x= (
Ax +
Bu) −
(
F
^x
+Ky + Ju)
. ²
=
(
Ax +
Bu) −
(
F
^x
+KCx + Ju) = (A − KC)x + (B − J)u − F
^x
Or, ² = x−
^x
, d’où :
. ²
=
(
A

KC −
F)x
+
(
B

J)u
+
F
²
On veut une estimation sans biais, c’est-à-dire .
²= 0 8x, 8u, ce qui équivaut à :
8<
:
A − KC − F = 0
B = J
F stable
,
8<
:
F = A − KC
J = B
(A − KC) stable
Et par conséquent :
.^ x= (
A

KC) ^x
+Ky + Bu
.^ x= A
^x
+Bu + K(y − C
^ x)
Posons
^
y= C
^ x, il vient :
.^ x= A
^x
+Bu + K
^
y
La figure 4.3 illustre la structure de l’observateur mise en évidence par cette dernière expression.
L’observateur est constitué de deux parties :
4.3. Reconstruction de l’état d’un système 27
1. Un simulateur du système réel caractérisé par les matrices (A,B,C), ayant comme entrées
u et y et comme sortie
^
y.
2. Un correcteur réalisant une contre-réaction fonction de l’écart entre la sortie y et son estimée
^
y. Ce correcteur permet d’assurer la convergence de l’estimation de l’état ^
x vers l’état x.
K est appelé le gain de l’observateur. Il y a convergence si ² converge vers 0, c’est-à-dire si
F est stable, soit encore si (A − KC) est stable.
-

+

-

+

+

+

B

A

u x C
 y
+

+

B

A

C

^

x

K

L

Simulateur

Correcteur

o

b

s

e

r

v

a

t

e

u

r

^

y

Fig. 4.3 – Structure de la commande avec synthèse d’un observateur
4.3.3 Synthèse des observateurs identité par approche modale
Comme vu précédemment, le problème de la synthèse d’un observateur consiste à déterminer
un gain K tel que la matrice (A − KC) soit stable.
La solution examinée ici est d’imposer des valeurs propres stables pré-choisies à la matrice
(A − KC).
Le problème devient donc un problème de placement de pôles. En effet, les matrices (A−KC)
et (A − KC)t ont les mêmes valeurs propres. Il s’agit donc d’imposer des valeurs propres à la
matrice (At − CtKt).
Considérons maintenant le système dual fictif (S¤) défini par :
(S¤) .
p= Atp + Ctq
où p est la vecteur d’état et q la commande.
Le problème revient donc à déterminer une commande q = −Ktp tel que les valeurs propres
du système bouclé soient en des positions pré-fixées. C’est donc bien un problème de commande
modale du système dual (S¤).
28 4. Synthèse d’observateur
On retrouve ici la dualité vue précédemment entre les notions de commandabilité et d’observabilité.
4.4 Mise en évidence du correcteur
Nous montrons ici que la synthèse d’un observateur s’apparente à une correction classique
(correction série et contre-réaction unitaire sur la sortie).
Considérons le système défini par :
½ . x= Ax + Bu
y = Cx
et son correcteur :
( .
^
x= (A − KC) ^
x +Ky + Bu
u = −Lx
Sous forme fréquentielle, ces équations s’écrivent :
(pI − A)X = BU et Y = CX
Ce qui donne :
Y = C(pI − A)−1BU
Or, U = −L
^X
et
p
^X
= (A − KC)
^X+KY −
BL
^X
On obtient donc une fonction de transfert pour le correcteur valant :
U = −L[pI − A + BL + KC]−1KY
La figure 4.4 représente la structure de la correction. On reconnaît bien une structure d’asservissement
classique.
4.4. Mise en évidence du correcteur 29
-

L(pI-A+BL+KC) K
 -1
 C(pI-A) B
 U(p)
 -1

Y(p)

retour unitaire

correcteur
 système

Fig. 4.4 – Structure d’asservissement classique
30 4. Synthèse d’observateur
31
Chapitre 5
Bilan sur la commande par retour
d’état avec synthèse d’observateur
Mise en oeuvre de la commande
La mise en oeuvre d’une commande dans le cas des systèmes continus suppose l’hypothèse
d’un système commandable et observable lorsque toutes les variables d’état ne sont pas accessibles
à la mesure. On écarte donc les parties non commandables ou non observables du système. Le
problème de la commande se résoud ensuite en trois grandes étapes :
1. Recherche de la commande en supposant x mesurable. La commande linéaire est de la
forme u = −Lx, L étant déterminée par exemple en imposant des pôles à la boucle fermée.
2. Reconstruction de l’état. Si seul y est mesurable, il faut synthétiser un observateur, ce qui
revient à déterminer un gain K assurant la stabilité de l’observateur et une estimation sans
biais.
3. La commande du système est finalement réalisée à partir de l’état estimé.
Deux questions se posent alors : celle de la détermination du retour d’état L et celle de
l’intérêt de la méthode (la méthode conduit-elle à un système bouclé performant ?)
5.1 Structure de la commande
La commande s’écrit u = −L
^x
et l’estimation de l’état s’écrit ^
x= x − ² où ² désigne l’erreur
d’estimation. On a donc :
u = −Lx + L²
Avec l’observation, la dimension du système bouclé est deux fois plus grande que celle du
système d’origine. Examinons l’état augmenté défini par la concaténation des états relatifs au
32 5. Bilan sur la commande par retour d’état avec synthèse d’observateur
système (d’origine) et au simulateur : ·
x
²
¸
Les équations du système bouclé prennent la forme :
8>>>><
>>>>:
· .
x.²
¸
=
·
(A − BL) BL
0 (A − KC)
¸ ·
x
²
¸
·
y
u
¸
=
·
C 0
−L L
¸ ·
x
²
¸
La matrice d’état du système bouclé vaut donc :
·
(A − BL) BL
0 (A − KC)
¸
où (A−BL) est la commande dans l’hypothèse d’un état accessible et où (A−KC) est la matrice
observateur.
Les valeurs propres du système bouclé sont les valeurs propres de (A−BL), c’est-à-dire celles
relatives à la commande du système plus les valeurs propres de (A − KC), c’est-à-dire celles de
l’observateur.
En conclusion, la substitution de x par ^
x ne modifie pas les valeurs propres obtenues lors
du calcul de la commande : juste, les valeurs propres de l’observateur s’ajoutent à celles déjà
imposées. La stabilité du système bouclé n’est donc pas affectée par la présence de l’observateur
si celui-ci est sans biais (c’est-à-dire tel que (A − KC) soit stable).
Pour que le comportement du système bouclé ne soit pas modifié de façon notable par la
présence de l’observateur, il suffit que la reconstruction de l’état soit rapide devant la dynamique
du système bouclé (pôles de (A − KC) de grand module devant ceux de (A − BL)).
5.2 Comportement dynamique du système bouclé
Comparons les comportements obtenus lorsque la commande est réalisée directement à partir
de l’état et lorsque celle est réalisée en utilisant un observateur.
– Commande réalisée à partir de l’état.
Les équations du système bouclé sont :
½ . x= Ax + Bu
u = −Lx + u0
Dans le domaine de Laplace, cela s’écrit :
X(p) = (pI − A + BL)−1BU0 + (pI − A + BL)−1x0
5.2. Comportement dynamique du système bouclé 33
(pI −A+BL)−1B est la matrice de transfert entre la consigne et l’état pour des consignes
initiales nulles ; (pI−A+BL)−1x0 détermine l’évolution du système en régime libre (u0=0).
Les pôles de chaque fonction de transfert sont les valeurs propres de (A − BL).
– Commande réalisée en utilisant un observateur.
Les équations du système bouclé sont :
8>>>><
>>>>:
. x= Ax +
Bu
y = Cx
.^ x= A
^x
+Bu + Ky − KC
^x
u = −L
^x
+u0
D’où :
. x= Ax +
B(−L
^x
+u0) = (A − BL)x + BL² + Bu0
et

= (A − KC)²
Dans le domaine de Laplace, cela s’écrit :
pX(p) − x0 = (A − BL)X(p) + BL² + BU0
et
p² − ²0 = (A − KC)²
Ce qui donne :
X(p) = (pI−A+BL)−1BU0+(pI−A+BL)−1x0+(pI−A+BL)−1BL(pI−A+KC)−1²0
Pour des conditions initiales nulles (²0 = 0 et x0 = 0), ou lorsque le régime libre est atteint,
la fonction de transfert obtenue est équivalente à celle obtenue directement à partir de l’état.
Les commandes sont donc équivalentes. Cela équivaut à y−
^
y= 0 : l’observateur est excité
par u uniquement ; le système est parfaitement simulé.
34 5. Bilan sur la commande par retour d’état avec synthèse d’observateur
35
Chapitre 6
Travaux dirigés
6.1 Travaux dirigés no1 : rappels de calcul matriciel
1. calculer le produit AB pour :
A =
2
4
−1 3 0
0 1 0
2 0 −1
3
5 et B =
2
4
2 5 0
4 −2 −1
0 3 −1
3
5
Calculer le déterminant de A. A est-elle inversible ? Pourquoi ?
2. Soient les matrices suivantes :
A =
2
4
−1 3 0
0 1 0
2 0 −1
3
5 , B =
2
4
2
−1
1
3
5 et C =
£
1 0 0
¤
Que vaut le produit CAB ?
3. Soit A =
·
−4 4
2 −6
¸
. Déterminer :
– le polynôme caractéristique de A
– les valeurs propres de A
– des vecteurs propres et les sous-espaces propres de A
– le rang de A
– A est-elle diagonalisable ?
– En utilisant le théorème de Cayley-Hamilton, calculer eAt
– Quelle est la transformée de Laplace de eAt ?
36 6. Travaux dirigés
6.2 Travaux dirigés no2 : représentation d’état d’un système
6.2.1 Ecriture à partir des équations d’évolution du système
On considère le moteur à courant continu de la figure 6.1. Cm(t) est le couple électromagnétique.
Cn(t) est le couple de perturbation. f! est le couple de frottement visqueux et rµ est le
couple de rappel.
1. On choisit [ i ! µ ]t comme vecteur d’état. Justifier ce choix. La sortie observée y est
la position µ. Cn sera considéré comme une entrée supplémentaire. Exprimer les équations
d’état du système.
2. Déterminer la matrice de transfert M(p) définie par M(p) = C(pI − A)−1B et déterminer
les transferts G(p) et Gn(p) tels que µ(p) = G(p)U(p) + Gn(p)Cn(p).
R
 L

u(t)
 e(t)

tension d'induit
 excitation

i(t)

q

Fig. 6.1 – Moteur à courant continu
On donne les équations électriques et mécaniques du système :
8>><
>>:
u(t) = Ri(t) + Ldi
dt + e(t)
J d!
dt = Cm − f! − rµ − Cn
e(t) = km!
Cm(t) = kmi(t)
6.2.2 Ecriture à partir des fonctions de transfert
1. On considère le système régi par l’équation différentielle suivante :
..
y (t) + 3 .
y (t) + 2y(t) = e(t)
où y et e sont deux signaux causaux. Les conditions initiales sont nulles y(0) =.y (0) = 0.
Déterminer la fonction de transfert du système et ses pôles.
2. Décomposer le système en une mise en série de systèmes intégrateurs purs. En déduire la
représentation d’état canonique pour la commande. On choisit comme variables d’état les
sorties des systèmes élémentaires.
3. Décomposer le système en une mise en parallèle de systèmes d’ordre 1. En déduire une
représentation d’état sous forme modale. On choisit comme variables d’état les sorties des
systèmes élémentaires.
6.3. Travaux dirigés no3 : commande par retour d’état et placement de pôles 37
4. Décomposer le système en une mise en série de systèmes d’ordre 1. En déduire une représentation
d’état sous forme cascade. On choisit comme variables d’état les sorties des
systèmes élémentaires.
5. Quelles sont les valeurs propres des matrices d’état obtenues.
6. Reprendre les questions 2,3 et 4 pour les systèmes de fonction de transfert :
H1(p) = p + 3
p2 + 3p + 2
H2(p) =
1
(p + 1)2(p + 2)
6.3 Travaux dirigés no3 : commande par retour d’état et placement
de pôles
6.3.1 Exemple 1
On considère le système causal défini par l’équation différentielle suivante :
...
y (t) + 3 ..
y (t) + 2 .
y (t) + y(t) = u(t)
On suppose les conditions initiales nulles. On désire réaliser une commande par retour d’état de
ce système en imposant à la boucle fermée les pôles suivants : -1,-2 et -2
1. Quelle représentation d’état est la plus intéressante pour le problème ? La construire. Donner
le schéma bloc lui correspondant.
2. Calculer la commande par retour d’état satisfaisant la contrainte modale donnée ci-dessus.
3. On désire annuler l’erreur statique en réponse à un échelon. Déterminer la consigne en
entrée u0 nécessaire.
4. Déterminer la réponse indicielle du système corrigé.
6.3.2 Exemple 2
On considère le système double intégrateur régi par l’équation différentielle suivante :
d2y
dt2 = e(t)
Réaliser une comande par retour d’état de la forme u(t) = −Lx + ®u0(t) permettant d’obtenir
(−0.2 + 0.2j) et (−0.2 − 0.2j) comme pôles du système bouclé et d’assurer un gain statique 1
entre y(t) et u0(t).
38 6. Travaux dirigés
6.4 Travaux dirigés no4 - TP no3 : exemple du pendule inversé
(stabilisation, synthèse d’observateur)
Ce sujet fait l’objet d’une séance préparée de travail dirigé puis d’une séance de simulation
sur ordinateur visant à valider les calculs théoriques effectués.
On se propose d’étudier le problème de la stabilisation du pendule inversé. Le système consiste
en un pendule inversé embarqué sur un chariot. Le système (chariot+pendule) est régi par les
équations différentielles suivantes (approximées à l’ordre 1) :
(M + m) ..
y +ml
..
µ −u(t) = 0
ml
..
y +ml2
..
µ −mglµ = 0
y est la position du chariot, µ l’angle de rotation du pendule par rapport à la verticale.
1. On choisit comme variables d’état : la position y du chariot, sa vitesse de déplacement
.y
,
l’angle µ du pendule par rapport à la verticale et sa vitesse de rotation angulaire

. Ecrire
l’équation d’ét


miloud khadir

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رد #1 في: حزيران 03, 2011, 07:58:23 صباحاً
أنا بحاجة إلى مذكرة حول موضوع Fréquencemètre analogique